3.1 弧度概念课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

弧 度 制 温故知新 任意角 角的概念推广 象限角及其无表示 终边相同的角 象限角 学习目标 1.了解弧度制，掌握角度与弧度的换算.（重点） 2.能够理解弧度的概念. （难点） 课文精讲 在几何的度量中，首先研究了线段长度的度量，其做法是:引入一个单位线段，以它为单位来度量其他线段或曲线(如圆周)的长度. 在单位线段的基础上，又引进了以单位线段为边长的单位正方形作为面积的度量单位，以单位线段为棱长的单位立方体作为体积的度量单位，并用这些度量单位度量图形的面积和体积. 弧度概念 课文精讲 对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.显然，此时角的度量单位的确定与单位线段无关. 由此可见，在几何图形的各种度量中.除了角度之外.其他的度量(长度、面积、体积等)都是以单位线段为基础的. 弧度概念 课文精讲 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把几何度量都建立在一个共同的基础(长度的度量)上呢? 弧度概念 以角的顶点为圆心画单位圆(半径为单位长度1的圆)，用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角. 课文精讲 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制. 弧度概念 课文精讲 弧度概念 今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数.例如，角α=2就表示a是2 rad的角； sin 就表示 rad的角的正弦，即sin =sin60°= . 课文精讲 角度制与弧度制的区别 角度制 用度作为单位来度量角的制度 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 弧度制 用弧度作为单位来度量角的制度 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 弧度概念 课文精讲 O A 1 1 rad O C D 2 -2 rad 弧度概念 B 如图①，在单位圆中，在此处键入公式。 的长等于1， ∠AOB就是1 rad的角；如图②，在单位圆中， 的长等于2， ∠COD就是-2 rad的角.角的正负由角的终边的旋转方向决定. 课文精讲 一般地，弧度与实数一一对应.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0. 弧度概念 课文精讲 弧度概念 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应. 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 课文精讲 问题提出 角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢? 弧度与角度的换算 弧度概念是由英国数学家科兹 (Roger Cotes一682-1716)在1714年提出的.作为一种对角的度量方法.弧度制使三角函数的研究大为简化. 课文精讲 弧度与角度的换算 分析理解 根据弧度的定义，可知 根据需要，可以用(1.1)式和(1.2)式进行弧度与角度的换算. 课文精讲 对于任意角，每一个角β都可以表示成 β =α+k·360°(0° ≤ α≤360°，k∈Z). 而360°角对应2π弧度角，因此只需把角α用弧度角α′表示，就可以得到角β的弧度角β′ ，即 β′ =α'+2kπ (0 ≤ α′ <2π , k∈ Z). 弧度与角度的换算 典型例题 例1:(1)把45°化成弧度；(2)把-600°化成弧度. 典型例题 例2:(1)把 化成度；(2)把 化成度. 课文精讲 下面是一些特殊角的度数与弧度数的对应表（如表）： 弧度与角度的换算 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 度 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 课文精讲 对于0°≤α＜360°之外的特殊角，不难得到它们的弧度数. 弧度与角度的换算 例如，420°=360°+60°=( ) rad= rad. 课文精讲 单位圆M与数轴相切于原点O，把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数α，它对应正半轴上的点A，把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上，点A对应单位圆上点A′，这样就得到一个以点M为顶点，以MO为始边，经过逆时针旋转以MA′，为终边的圆心角α，该角的弧度数为正数α. 弧度与角度的换算 考虑如图的模型. 课文精讲 思考交流 对于任意一个负数b，如何利用“皮尺”缠绕的方法，在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β? 弧度与角度的换算 课文精讲 弧度与角度的换算 在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长 .又此时角A的弧度数 . 因此l=|α|r，即 即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比. 公式的常见变形： （1）l=|α|·r(弧长公式) （2） 如果扇形的弧长为l,圆心角的弧度数为α(取正值),则该扇形的面积S= αr2= rl. 综合练习 2 综合练习 在直径长为20cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为______cm. 本课小结 弧度制 弧度概念 弧度与角度的换算 §3　弧度制 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算 核心知识目标 核心素养目标 1.了解度量制度,理解弧度的定义和弧度制. 2.掌握角度和弧度的换算关系. 1.通过归纳概括弧度的定义,提高数学抽象的核心素养. 2.通过弧度和角度的换算,提高数学运算的核心素养. 知识探究·素养培育 探究点一 弧度和弧度制的概念 知识点1:弧度和弧度制的概念 在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示,读作弧度(通常“弧度”或“rad”省略不写).在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作弧度制. [例1] 在单位圆中,正确的是(　　) (A)1弧度是1度的圆心角所对的弧 (B)1弧度是长度为半径长的弧 (C)1弧度是1度的弧与1度的角之和 (D)1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角 变式训练1-1:已知单位圆上有一段长度等于2的弧,则这段弧所对应的圆心角为(　　) (A)2°　　 (B)2　　　 (C)1 　　(D)1° 方法总结 在单位圆中,弧长的数值即为其所对的圆心角的弧度数. 探究点二 弧度和角度的换算 知识点2:弧度和角度的换算 [思考] 如果角α使用弧度表示,则与角α终边相同的角的集合可以写为何种形式? 方法总结 弧度数乘 即为角度数,角度数乘 即为弧度数. 探究点三 弧度制下扇形的弧长和面积 知识点3:弧度制下扇形的弧长和面积 (2)扇形的面积公式 (1)一般圆中圆心角的弧度数 　　半径为r的圆中,长度为l的弧所对的圆心角的弧度数α,满足|α|=　,其中α的正负由角的旋转方向确定. 如果扇形的弧长为l,圆心角的弧度数为α(取正值),则该扇形的面积S= αr2= rl. (2)已知圆心角为60°的扇形内部有一个圆C与扇形的半径及圆弧均相切,当圆C的面积为π时,该扇形的面积为(　　) 方法总结 解题的关键是利用弧度制下扇形的弧长和面积公式建立方程(组)、弧长函数关系. $$