2024-2025学年北师大版（2024）七年数学上册新定义题型期末复习

七年级新定义题型 一、计算法则类定义题 1.概念学习： 规定：求若干个相同的有理数均不等于的除法运算叫作除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”，一般地，把个，记作，读作“的圈次方”． 初步探究： 除方乘方：幂的形式． 计算：________，________； 关于除方，下列说法错误的是(    ) A.任何非零数的圈次方都等于 B.对于任何正整数， C. D.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ________；________；________； 想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________________； 算一算：． 2.给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“共生有理数对”，记为，如：，，那么数对，都是“共生有理数对”． 判断，正确的打“”，错误的打“”： 数对是“共生有理数对”； (    ) 数对不是“共生有理数对”  (    ) 请再写出一对符合条件的“共生有理数对”：___；注：不能与题目中已有的“共生有理数对”重复 若是“共生有理数对”，则是不是“共生有理数对”？并说明理由． 若是“共生有理数对”，求的值． 3.阅读理解：对于有理数，，，，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，，则和关于的“美好关联数”为． 和关于的“美好关联数”为________； 若和关于的“美好关联数”为，求的值； 若和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，和关于的“美好关联数”为，，和关于的“美好关联数”为， 的最小值为________； 试求的最小值． 4.阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密和解密． 素材 ；；； 素材 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密和解密，方法如下：记公钥，私钥为其中，均为两位正整数，则 例，当明文为，取时，加密解密过程如图： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． 设是一个三位数，是一个四位数，则除以的余数为，请说明理由． 【初步应用】若公钥为，请设计匹配的私钥． 【解决问题】请再设计一对匹配的钥匙：          ，           二、数轴类定义题 1.材料一：我们知道，在数轴上，表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点、，它们表示的数分别是、，那么、两点之间的距离为：． 材料二：若对于有理数，，满足，则我们称是关于，的“友好数” 例如：， 是关于和的“友好数”． 若，则          ； 若是关于，的“友好数”，则的值可能为下列哪个数       填序号：；；； 若是关于，的“友好数”，则          ； 数轴上有两个点、，它们表示的数分别是、，且它们在的同侧，当是关于，的“友好数”时，求的值． 2.定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． 线段的中点          该线段的“倍距点”；填“是”或者“不是” 已知，点是线段的“倍距点”，直接写出          ． 如图，在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，点为线段中点． 现有一动点从原点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ 现有一长度为的线段如图，点起始位置在原点，从原点出发，以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 3.定义：数轴上，，，表示的数分别为，，，若点到点，中一个点的距离与点到点，中另一个点的距离之和等于点与点之间的距离，我们就称是的调和点对． 例如，如图，点，，，表示的数分别为，，，．此时，，，因此，点，，，满足，称是的调和点对．请根据上述材料解决下面问题： 在数轴上点，表示的数分别为，，且，满足， ______，______； 点，，，表示的数分别为，，，，其中可以组成的调和点对的是______； 若点从点以每秒个单位长度向右运动，同时点从点以每秒个单位长度向左运动，当点到达点时，点，同时停止运动．设点的运动时间为秒当为的调和点对时，直接写出的值． 4.如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位，记为动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的倍，之后也立刻恢复原速设运动时间为秒． 当时，，两点在数轴上相距多少个单位长度 当，两点相遇时，求运动时间的值． 若“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等，当为何值时，，与点相距的长度之和等于 5.感悟体验 如图，，，三点在同一直线上，点在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定点的位置． 认识概念 在同一直线上依次有，，，四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图，下列情形中与互为“对称线段”的是          直接填序号 ，，，，． 运用概念 如图，与互为“对称线段”，点为的中点，点为的中点，且． 若，求的长． 若，求的长． 拓展提升 如图，在同一直线上依次有，，，四点，且为常数，点为的中点，点在上且是否存在的值使得的长为定值若存在，请求出的值以及这个定值用含的代数式表示若不存在，请说明理由． 6.对于数轴上的点，线段，给出如下定义：为线段上任意一点，我们把，两点间距离的最小值称为点关于线段的“靠近距离”，记作点，线段把，两点间的距离的最大值称为点关于线段的“远离距离”，记作点，线段特别地，若点与点重合，则，两点间的距离为如图，已知点表示的数为，点表示的数为若点表示的数为，则点，线段，点，线段． 若点表示的数为，则点，线段          ，点，线段          ． ，均为数轴上在线段外的点，若点表示的数为，点，线段，则的值为          若点表示的数为，点，线段，则的值为          ． 若点和点为数轴上的两点且均不在线段上，点表示的数为，点表示的数为，点，线段是点，线段的倍，求的值． 7.定义：数轴上、两点的距离为个单位记作，根据定义完成下列各题． 两个长方形和的宽都是个单位长度，长方形的长是个单位长度，长方形的长是个单位长度，其中点、、、在数轴上如图，点在数轴上表示的数是，且、两点之间的距离为，原点记为． 求数轴上点、所表示的数？ 若长方形以个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时长方形以个单位长度秒的速度向左匀速运动，数轴上有、两点，其中点在、两点之间，且，其中点在、两点之间，且，设运动时间为秒．经过秒后， 点表示的数是__________，点表示的数是________用含的式子表示，结果需化简． 求点经过多少秒与点相遇？ 若长方形以个单位长度秒的速度向右匀速运动，长方形固定不动，设长方形运动的时间为秒，两个长方形重叠部分的面积为，当时，求此时的值． 三、概念类定义题 1.类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于的项是“准同类项”． 例如：与是“准同类项” 给出下列三个单项式： ，，．其中与是“准同类项”的是______填写序号． 已知，，均为关于，的多项式，，，若的任意两项都是“准同类项”，求的值． 已知，为关于的“同类多项式”，，，若是关于的一元一次方程且有正整数解，若为整数，求，的值． 已知，均为关于，的单项式，，，其中，，和都是有理数，且若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 2.阅读下列材料，完成相应的任务： 对称式 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式． 例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、、，因为，所以是对称式；而代数式中字母、交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： 下列四个代数式中，是对称式的是________填序号即可； ；；；；． 写出一个只含有字母，的单项式，使该单项式是对称式，且次数为次； 已知，，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 2.好线：如图，射线在的内部，图中的个角：，若其中有一个角的度数是另一个角的两倍，则称射线是的“好线”；如图，一副三角板的边在直线上，边重合在射线上，现将三角板绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕着点以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与射线重合时，两块三角板都停止转动，设旋转时间为秒． 在旋转过程中，当时，射线是的好线吗？请说明理由． 当秒时，求的度数． 当三角板直角边所在的射线是的“好线”时，求的值． 3.探索新知： 如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． 一个角的平分线          这个角的“巧分线”填“是”或“不是” 如图，若，且射线是的“巧分线”，则          用含的代数式表示出所有可能的结果 深入研究： 如图，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为秒．当为何值时，射线是的“巧分线”． 四、综合与实践： 七年级某班的一个学习小组利用收集到的小石子开展有关“形数”的探究活动． 操作与发现 同学们在摆放小石子的过程中发现了一些有趣的“形数”． 如图，当小石子的数是，，，时，小石子能摆成三角形，不妨将这些数称为“三角形数”如图，当小石子的数是，，，时，小石子能摆成正方形，不妨将这些数称为“正方形数”． 观察与思考 同学们设第个“三角形数”为，第个“正方形数”为，并列出下面的表格尝试从不同的角度寻找其中的规律．                      上表中，，的值分别为          ，          ； 下列各数中，既是“三角形数”又是“正方形数”的是          填序号； ；；；． 猜想与应用 观察图形与表格，猜想与，之间的关系，并直接写出用含，的代数式表示为          ； 同学们还发现当时，任意一个“正方形数”均可以看作某两个相邻的“三角形数”之和．据此请判断可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和，并写出你的判断过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$