江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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高二数学试卷 第 1页，共 4 页 灌南县 2024～2025 学年度第一学期期中调研考试 高二数学试题 注意事项： 1.考试时间 120分钟，试卷总分 150分。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.请用 2B铅笔和 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.过点�( 3, 1)且倾斜角为 90°的直线方程为( ) A. � =− 3 B. � =− 1 C. � = 3 D. � = 1 2.若抛物线�2 = 2�上的一点�到坐标原点�的距离为 3，则点�到该抛物线焦点的距离 为( ) A. 3 2 B. 1 C. 2 D. 3 3.已知直线过点(1,2)，且在�轴与�轴上的截距互为相反数，则直线�的方程为( ) A. � − � + 1 = 0 B. � + � − 3 = 0 C. 2� − � = 0 或� − � + 1 = 0 D. 2� − � = 0 或� + � − 3 = 0 4.椭圆�: � 2 �2 + �2 �2 = 1(� > � > 0)左右焦点分别为�1，�2，焦距为 2，直线�经过�2交椭圆于�， �两点，若△ ���1的周长为 12，则椭圆标准方程为( ) A. � 2 3 + � 2 = 1 B. � 2 4 + � 2 = 1 C. � 2 9 + �2 5 = 1 D. �2 9 + �2 8 = 1 5.已知动直线� = �� − 1 + � � ∈ � 与圆�: �2 + �2 − 2� + 4� − 4 = 0(圆心为�)交于点�, �， 则弦��最短时，����的面积为( ) A. 2 2 B. 4 2 C. ​ 5 D. 2 5 6.已知直线 3� − 4� + 3 = 0 与直线 6� + �� − 14 = 0 平行，则它们之间的距离是( ) A. 175 B. 2 C. 17 10 D. 1 2 高二数学试卷 第 2页，共 4 页 7.已知� ∈ �，直线�1：�� + � + 2� = 0 与�2：� − �� + 2� = 0 的交点�在圆�：� − 2 2 + � − 4 2 = �2 � > 0 上，则�的最大值是( ) A. 4 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 2 8.如图 1 所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射， 其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线�：� 2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的 左、右焦点分别为�1，�2，从�2发出的光 线经过图 2 中的�，�两点反射后，分别经 过点�和�，且 cos∠��� =− 45，�� ⊥ ��， 则�的离心率为(    ) A. 5 2 B. 17 3 C. 10 2 D. 5 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.下列说法正确的是( ) A.直线� − � − 2 = 0 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2 B. 经过点(1,1)且在�轴和�轴上截距都相等的直线方程为� + � − 2 = 0 C. 点(0,2)关于直线� = � + 1 的对称点为(1,1) D.过(�1, �1)，(�2, �2)两点的直线方程为 �−�1 �2−�1 = �−�1�2−�1 10.若点�为原点，且圆�与圆�: �2 + �2 − 6� + 8� + 16 = 0 没有公共点，则圆�的半径可 以是( ) A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 11.已知双曲线�: � 2 �2 − �2 �2 = 1(� > 0, � > 0)的左、右焦点分别为�1( − 4,0)，�2(4,0)，过点�2 的直线与双曲线�的右支交于�，�两点，��1与�轴相交于点�，△ ���2的内切圆与边��2 相切于点�.若|��| = 2，则下列说法正确的有( ) A.双曲线�的渐近线方程为� =± 3� B. △ ��1�2的内切圆的圆心在定直线上 C. 若直线� = �� + 2 与双曲线�有且仅有 1 个公共点，则� =± 2 D. |��|的最小值为 12 高二数学试卷 第 3页，共 4 页 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.请写出一个焦点在�轴，并与双曲线� 2 16− �2 9 = 1 有相同渐近线的双曲线的方程： ． 13.若直线� = 2� + �与曲线� = 1 − �2恰有一个公共点，则�的取值范围为 ． 14.已知椭圆� 2 4 + � 2 = 1 的左、右顶点分别为�，�，动点�(�1, �1)，�(�2, �2)均在椭圆上， �是坐标原点，记��和��的斜率分别为�1，�2; △ ���与△ ���的面积分别为�1，�2.若 �1�2 =− 1 2，则�1�2的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13 分)平行四边形����中，已知�(1,0)，�(4,1)，�(0,3)． (1)求直线��的方程； (2)求∆���中��边上的高所在直线的方程． 16.(15 分)已知圆�过两点�( − 2,0)，�(2,4)且圆心在直线 2� − � − 4 = 0 上． (1)求该圆�的方程； (2)求过点�(3,1)的直线被圆�截得弦长最大时的直线�的方程． 17.(15 分)已知动点�与点�(2,0)的距离比其到直线� =− 3 的距离小 1． (1)求动点�的轨迹方程； (2)求点�与点�(6,0)的距离的最小值，并指出此时�的坐标． 高二数学试卷 第 4页，共 4 页 18.(17 分)已知圆�：(� − 3)2 + (� − 4)2 = 4，直线�过定点(1,0)． (1)若直线�与圆�相切，求直线�的方程； (2)若直线�与圆�交于�，�两点，求△ ���面积的最大值，并求此时直线�的方程． 19.(17 分)已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1 � > � > 0 的离心率为 2 2 ，且过点� 2,1 . (1)求椭圆�的方程； (2)�,�为椭圆�上两个不同的点，且�� ⊥ ��， ①求证：直线��恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过�点作直线��的垂线，垂足为�，求��的最大值. 高二数学试卷答案 第 1页，共 3 页 灌南县 2024～2025学年度第一学期期中调研考试 高二数学试题答案 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1.C 2.A 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.C 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。（即:若有两个正确选项，每 选对一个得 3分;若有三个正确选项，每选对一个得 2 分. 有选错的得 0 分.） 9.AC 10.AD 11.ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.� 2 9 − � 2 16 = 1（答案不唯一） 13.−1 < b ≤ 1或 b =− 5 14.2 3 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(1)平行四边形 ����中， ��//��， 所以 ��� = ��� = 3−1 0−4 =− 1 2 ， ………………3分 所以直线 ��的方程为 � =− 1 2 (� − 1)， 整理得： � + 2� − 1 = 0 ． ………………6分 (2) ∆���中，记 ��边上的高所在直线为 �， 则 �� =− 1 ��� =− 0−1 3−0 = 1 3 ， ………………10分 所以直线 �的方程为 � − 1 = 1 3 (� − 4)， 整理得： � − 3� − 1 = 0 . ………………13分 16.(1) ∵ �( − 2,0)，�(2,4)， ∴ ��� = 4−0 2−(−2) = 1， 由��的中点坐标为(0,2)，∴ ��的垂直平分线方程为� =− � + 2，………………3分 联立 � =− � + 2 2� − � − 4 = 0，解得 � = 2 � = 0， 高二数学试卷答案 第 2页，共 3 页 则圆心�(2,0)，且� = (2 + 2)2 + 0 = 4． ………………6分 ∴圆�的方程为(� − 2)2 + �2 = 16； ………………8分 (2) ∵直线被圆截得的弦长最大时的直线过圆心， ∴直线�过�， ………………10分 又直线�过点�(3,1)，∴ ��� = 1−0 3−2 = 1， ∴直线�的方程为� − 1 = 1·(� − 3)，即� − � − 2 = 0． ………………15分 17.(1)由题意知动点�到�(2,0)的距离与它到直线� =− 2的距离相等， 所以动点�的轨迹为以�(2,0)为焦点、以直线� =− 2为准线的抛物线， 因此动点�的轨迹方程为�2 = 8�． ………………6分 (2)设� � 2 8 , � ， 由两点间的距离公式得： |��| = � 2 8 − 6 2 +�2 = � 4 64 − � 2 2 + 36 = 1 64 (�2 − 16)2 + 32， ………………9分 当�2 = 16，即� =± 4时， |��|min = 4 2， 即当�(2, ± 4)时，点�与点�的距离最小，最小值为 4 2． ………………15分 18.(1)①若直线�的斜率不存在，则直线�：� = 1，符合题意， ………………2分 ②若直线�斜率存在，设直线�的方程为� = � � − 1 ，即�� − � − � = 0． 由题意知，圆心(3,4)到直线�的距离等于半径 2，即 3�−4−� �2+1 = 2， 解之得 � = 3 4 .所以直线�的方程是 3� − 4� − 3 = 0， 综上，所求直线�的方程是� = 1或 3� − 4� − 3 = 0. ………………8分 (2)直线�与圆相交，斜率必定存在，且不为 0，设直线方程为�� − � − � = 0， 则圆心(3,4)到直线�的距离� = |3�−4−�| �2+1 = 2�−4 1+�2 . ………………10分 又∵△ ���的面积� = 1 2 � × 2 4 − �2 = � 4 − �2 = 4�2 − �4 = − �2 − 2 2 + 4 ∴当� = 2时，�取得最大值 2. ………………14分 ∴ � = 2�−4 1+�2 = 2，∴  � = 1或� = 7 高二数学试卷答案 第 3页，共 3 页 所求直线�方程为� − � − 1 = 0或 7� − � − 7 = 0 . ………………17分 19.（1）由题意知� = � � = 2 2 ，故 �2 �2 = 1 − �2 = 1 2 ，即�2 = 2�2 又因为椭圆过点� 2,1 ，所以 4 2�2 + 1 �2 = 1，解得�2 = 3, �2 = 6 所以椭圆�的方程为：� 2 6 + � 2 3 = 1 ………………3分 （2）①设� �1, �1 ，� �2, �2 ∵ �� ⊥ �� ∴ �� ∙ �� = 0 ∴ 2 − �1 2 − �2 + 1 − �1 1 − �2 = 0 （ⅰ）当直线 MN 斜率不存在时，设���: � = � � ≠ 2 ， 联立 � = � �2 6 + � 2 3 = 1得� 2 + � 2 2 − 3 = 0 ∴ �1�2 = �2 2 − 3，�1 + �2 = 0 ∴ � − 2 2 + � 2 2 − 3 + 1 = 0解得� = 2（舍）或� = 2 3 此时���: � = 2 3 ………………5分 （ⅱ）当直线��斜率存在时，设���：� = �� + � 联立 � = �� + � �2 6 + � 2 3 = 1 得 2�2 + 1 �2 + 4��� + 2�2 − 6 = 0 ∴ ∆ = 8 6�2 −�2 + 3 > 0，�1 + �2 =− 4�� 2�2+1 ，�1�2 = 2�2−6 2�2+1 ∗ ………………7分 又∵ �1 − 2 �2 − 2 + �1 − 1 �2 − 1 = 0 ∴ �1 − 2 �2 − 2 + ��1 +�− 1 ��2 +�− 1 = 0 整理得 �2 + 1 �1�2 + � � − 1 − 2 �1 + �2 +�2 − 2� + 5 = 0 将 ∗ 代入整理得 4�2 + 8�� + 3�2 − 2� − 1 = 0 ∴ 2� + � − 1 2� + 3� + 1 = 0 ∴ 2� + � − 1 = 0或 2� + 3� + 1 = 0 当 2� + � − 1 = 0时���过点�，不成立； 高二数学试卷答案 第 4页，共 3 页 当 2� + 3� + 1 = 0时���过定点� 2 3 , − 1 3 综上所述，���过定点� 2 3 , − 1 3 ………………13分 ②∵ �� ⊥ ��，���过定点� 2 3 , − 1 3 ∴ �� ⊥ ��，即�在以��为直径的圆上， ………………15分 圆心为��的中点� 4 3 , 1 3 ，半径� = 1 2 �� = 2 2 3 ∴ �� ��� = �� + � = 17+2 2 3 . ………………17分

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