7.3.2离散型随机变量的方差教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

离散型随机变量的方差 一．教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》第67-70页的第七章7.3.2离散型随机变量的方差。 本单元内容主要包括随机变量的均值和方差。本节课是前面学习完随机变量分布列的基础上进行研究的，知识上具有承前启后的作用。随机变量的均值和方差是概率论和数理统计的重要概念，节课是从实际出发，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。 2． 教学目标 1.理解离散型随机变量的方差、标准差的概念； 2.了解离散型随机变量方差的性质； 3.会计算离散型随机变量的方差、标准差，并会解决一些实际问题。 三．教学重点、难点 重点：离散型随机变量的均值与方差； 难点：正确列出随机变量的分布列，并求出均值与方差。 四．学法与教学用具 1.学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。 2.教学用具：多媒体设备等。 五．教学过程 环节一：探索方差如何定量离散型随机变量取值的离散程度？ 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”。因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题 ：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 表1 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表2 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算，E(X)= 8 ;E(Y)=8.因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平。射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度，图一和图二分别是X和Y的概率分布图： 图一 图二 发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的设计成绩更稳定。 知识回顾，提出问题.通过具体的问题情境，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解。从而引入离散型随机变量分布列方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。 环节二：离散型随机变量方差的概念 一般地，设离散型随机变量X的分布列如表所示. … … 则称 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X).称为随机变量X的标准差。 师：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度.那是方差越大越稳定吗？ 生：加深学方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 环节三：利用离散型随机变量方差公式，解决环节一中的问题 问题 ：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何评价这两名同学的射击水平？ 表1 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 表2 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 解：由题知， E(X)= 8 ,E(Y)=8. ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论: 师：老师以提问方式，引领着学生一起完上面公式的推导过程。 环节四：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量X的期望与方差的性质： 名词 数学期望 方差 定义 性质 (1)E()=(为常数) (2)E(X)=E(X) (3)E(X+b)=E(X)+b(为常数且) (1)D()=0(为常数) (2) (3) (为常数,且) 数学 意义 E(X)是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 D(X)是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 环节五：课堂练习 例1. 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差。 解法1：随机变量X的分布列为 解法2：随机变量X的分布列为 学生总结：方差的计算需要一定的运算能力，在随机变量的均值比较好计算的情况下，运用关系式不失为一种比较实用的方法． 例2.投资A、B两种股票，每股收益分布列分别如表1和表2所示： 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 解：(1)股票A和股票B投资收益的期望分别为 因为E(X)>E(Y),所以投资股票A的期望收益较大。 （2） E(X)和E(Y) 相差不大，且D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. 学生总结：在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释. 例3.设为随机变量，且,求 .   解：由题意得， , ， 学生总结：运用关系式的好处. 例4.已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10,9,8,7环的概率分别为0.5,, ，0.1，乙击中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，甲、乙射击结果互不影响.记甲、乙两名射手在一次射击中击中的环数分别为. （1）求的分布列； （2）求的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术. 解：（1）依题意，有,解得 乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2 乙击中7环的概率为 的分布列分别为 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2） 由于，说明甲平均击中的环数比乙高； 又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定. 甲比乙的射击技术好. 环节五：课堂小结 1.离散型随机变量的方差 2.方差与标准差的性质： 3.利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： （1）比较均值. （2）在均值相等或接近的情况下计算方差. （3）得出结论.方差越小结果越稳定. 环节七：作业布置 1、2、3题 环节八：教学反思 理解并掌握方差公式及简化后公式，有利于我们进行方差的计算。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$