3.3幂函数教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《幂函数》教学设计 教材 分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》(人教A版)第三章《函数的概念与性质》,本节课是第3节,幂函数是进入高中所学的基本初等函数之一,是在学生系统学习了函数的概念与性质之后,培养学生从函数图像研究性质的一节入门课程。本节课从概念到图象,通过探究归纳出幂函数的性质,让学生再次体会观察函数的图象总结函数性质。 学情 分析 学生在初中已学习过正比例函数、反比例函数、二次函数()的图象和性质,但缺乏对研究一类函数的内容和方法的认识。因此幂函数的学习是在学生已有的函数学习经验上的拓展,主要是在归纳五个具体函数共性基础上培养学生的数学抽象思维能力。 教学 目标 1、通过具体实例,了解幂函数的定义,会画幂函数,的图象,理解它们的性质; 2、通过对幂函数的研究,体会研究一类函数的基本内容与方法; 重难点 重点:幂函数的概念、图象和性质; 难点:观察五个幂函数的解析式的共性,抽象幂函数概念;观察函数图象的内容和方法。 教学过程设计 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 问 题 引 入 问 题 引 入 (用多媒体出示以下5个问题) 问题1:如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜kg,那么她需要支付元,这里是的函数; 问题2:如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数; 问题3:如果立方体的棱长为,那么立方体的体积,这里是的函数; 问题4:如果一个正方形场地的面积为,那么这个正方形的边长,这里是的函数; 问题5:如果某人s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度km/s,即,这里是的函数. 学生阅读、思考、交流、口答,教师板演. 师问1:我们研究函数通常习惯用x表示自变量,用y表示因变量,那么将上面的五个函数都改写成用x表示的y函数,如何处理? 生:1. 2. 3. 4. 5. 师问2:观察上述例子中的函数模型,这几个函数解析式有什么共同特征? 生:函数的解析式都具有幂的形式,而且都是以幂的底数为自变量,幂的指数都是常数. 师:我们把这种函数叫做幂函数. (引入新课,书写课题) 引导学生从具体的实例中进行总结,从而引出幂函数的一般特征,培养学生的观察、归纳、概括能力,提升数学抽象素养. 探究一: 幂函数的定义 幂函数的定义: 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数. 练习:判断下列函数哪些是幂函数 ① ②;③; ④;⑤; ⑥; ⑦ 师问3:是幂函数吗? 学生对比定义,得出否定答案. 总结幂函数形式: (1) 幂的底数是自变量,指数是常数 (2) 系数都为1。 提问学生回答 通过教师反例的提出,加深学生对幂函数的定义和呈现形式的理解。 练习设计目的:增强学生对幂函数定义的认识。 探究二: 幂函数的图像与性质 探究二: 幂函数的图像与性质 探究二: 幂函数的图像与性质 1.研究幂函数的图象. (1); (2); (3); (4); (5). 2.通过观察图象,完成教材第90页探究中的表格. 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减,在上单调递增 定义域 值域 奇偶性 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减,在上单调递减 3.幂函数的性质. (1)所有的幂函数在都有定义,第四象限没有函数图像。 (2)图象都过点 时,幂函数的图象都点(0,0), (3) 单调性 当 >0时,幂函数在[0,+∞)上单调递增; 当 <0时,幂函数在(0,+∞)上单调递减 特别地,当时,,的图象都在图象的下方,形状向下凸.越大,下凸的程度越大. 当时,,的图象都在的图象上方,形状向上凸,越小,上凸的程度越大. (5)在直线x=1的右侧,按“逆时针”方向,逐渐增大。 师问4:我们已经知道了幂函数的形式,那么如何深入研究幂函数的性质呢? 生:作具体幂函数的图象 观察图象特征 总结函数性质。 师问5:如何画函数图象? 生:列表、描点、连线 引导学生自己动手,在同一坐标系中画出这5个函数的图象,并观察图象.教师利用几何画板等软件画出这5个函数的图象并展示. 让学生通过观察图象,结合以往学习函数的经验,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,完成表格. 师问6:所有图象都过第几象限?所有图象都不过第几象限?为什么? 生:都过第一象限,而都不过第四象限,因为当时所有幂函数都有意义,且函数值都为正. 师问7:所有图象都过哪些点? 生:都过点. 师问8:什么样的幂函数的图象过原点,什么样的幂函数的图象不过原点? 生:幂的指数为正数时,函数图象过原点.幂的指数为负数时,函数图象不过原点. 师问9:幂函数的单调性与幂的指数有什么关系? 生:幂的指数为正,在[0,+∞)上单调递增;幂的指数为负,在[0,+∞)上单调递减; 师问10:图象在第一象限的位置关系是什么样的? 生:当时,指数小的图象在上方.当时,指数大的图象在上方. 通过创设问题情境,激发学生的思维,使学生自然形成研究问题的一般思路. 在探究幂函数的性质和图象的变化规律的过程中,提升学生的直观想象和数学抽象素养. 例 题 讲 解 例1如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象在(0,+∞)上单调递减,求实数m的取值. 例2图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取 1/2, 2, 四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为 例3 证明幂函数是增函数. 证明:函数的定义域是. ,,且, 则 . 因为,. 所以, 即幂函数在上是增函数. 教师引导学生自主练习并展示 强调单调性证明中的分子有理化过程。 例1和例2的设计意图:在了解幂函数的简单性之后,进行性质简单应用练习,提高学生的知识应用能力。 例3设计意图:利用解析式对结论进行严格证明,提高学生思维的严谨性。同时引导学生认识到用抽象语言表述的单调性定义在证明中的重要作用。 课堂小结 1.幂函数的定义. 2.幂函数的图象. 3.幂函数的性质. 学生回顾反思,教师点评完善. 形成知识体系. 布置作业 思考题:1.请同学们结合今天的学习尝试绘制函数与的图像,探讨函数的相关性质(单调性与奇偶性)。 2.幂函数的奇偶性与什么有关?如何正确判断一个幂函数的奇偶性? 学生课后独立完成思考问题. 作业设计意图:让学生掌握研究函数的一般方法,其次为下一节课进行幂函数的就行研究做铺垫。 板书设计 3.3 幂函数 一、幂函数定义 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数 二、幂函数图像与性质 三.例题3 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$