山东省泰安市肥城市第六高级中学2024-2025学年高三上学期11月16日数学周自测

时间：2024年11 月15日 天下为己任，规矩成方圆 肥城六中高三数学周自测1116 一、单选题 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2.已知数列的前项和，则等于（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 3.命题“使得”是真命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．已知是等比数列，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数是定义在R上偶函数，且在内是减函数，若，则满足的实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 7．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（    ） A．存在x∈R，使得f(x)=0 B．若a=c=0，则函数y=f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞，x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0 8．在中，点是边上一点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 二、多选题 9．在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为，则下列结论正确的为（    ） A． B． C． D． 10．设，则（    ） A． B． C． D． 11．设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．设，则 . 13．在中，角，，的对边分别是，，.已知＝，＝，则面积的最大值是 . 14．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知集合 (1)当时，求 (2)若，求实数m的取值范围. 16．已知等差数列前三项为，，，前项的和为，． （Ⅰ）求及的值；    （Ⅱ）求． 17．已知函数的图象的相邻两条对称轴的间距为，将函数的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，求的值. 18．已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当时，证明：. 19．在数列中，若，且， 则称为“数列”.设为“数列”，记的前项和为. (1)若，求，，的值； (2)若，求的值； 时间：2024年11 月 15日 天下为己任，规矩成方圆 (3)证明：中总有一项为1或3 制作人： 审核人： 2 肥城六中高三数学组1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【详解】. 2.B 【详解】因为数列的前项和， 所以. 3.B 【详解】因为使得是真命题， 即在R上有解，只需， 又函数，所以，解得 即实数的取值范围为. 4．A 【详解】解：设数列的公比为， 若，则，所以，则，， 所以，所以为递减数列； 若为递减数列， 当时，，数列为递减数列，此时， 所以由为递减数列不一定能得到， 所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件. 5．A 【详解】解：根据题意，函数是定义在R上偶函数，且在内是减函数，则在上为增函数，又，所以，解得：，即的取值范围为； 6．C 【详解】构造函数，则，在单调递减., 等价于，故 7．C 【详解】解：由三次函数值域为R知f(x)=0有解，故A项正确； 因为f(-x)=-x3+ax2-bx+c，则f(-x)+f(x)=2ax2+2c，当a=c=0时，f(-x)+f(x)=0，故B项正确； 若f(x)有极小值点，则f′(x)=0有两个不等实根x1，x2(x1<x2)，f′(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2)， 则f(x)在(-∞，x1)上是增加的，在(x1，x2)上是减少的，在(x2，+∞)上是增加的，即x0=x2，故C项错误； 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0正确，D项正确， 8． B 【详解】在中，点是边上一点，，则， ，. ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 9． AB 【详解】解：由角的终边与单位圆交于点，是第一象限角， 可得，，可得，故A正确； 将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，可得， 则可得，，故B正确，C错误； 据三角函数定义可得，角的终边与单位圆的交点为，则点的坐标为，， 故D错误． 10.ACD 【详解】， 设，所以， 所以函数在上单调递减， 所以，所以时，， 所以，即， 所以，所以,A正确； 令，则， 当时，，函数在单调递增， 所以，即，,B错误； 令，则 , 单调递增，当时，，函数单调递减，所以单调递减, ,即，,C正确； 令，则，所以在上单调递减， 所以，即，,D正确. 11．BD 【详解】对于A，，， 即关于对称，故A错误； 对于B，为偶函数，故，即关于对称， 由关于对称，知，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以， 则，故，则， 所以的周期为4，则，故C错误； 对于D，由，得， 即，令得，， 故，故D正确. 12． 【详解】由， 所以，即. 13．2 【详解】由正弦定理得：＝.又＝， ∴＝，∵，∴＝，即. 又，∴， 由余弦定理得：＝，∴，∴， 14． 【详解】，即. 因为，所以，即求在上有根时a的范围. 即函数，的值域.所以由，的值域知. 故实数a的取值范围是 15．(1) (2) 【详解】（1）当时，， 故； （2）， 当时，，解得， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 16．（Ⅰ），；（Ⅱ）. 【详解】（Ⅰ）设该等差数列为，则，，， 由已知有，解得，公差， 将代入公式，得， 即，解得（负值舍去） ∴，； （Ⅱ）由（Ⅰ）得到 ， ∴， 则． 17．(1) (2) 【详解】（1）因为， 又因为函数的图象的相邻两条对称轴的间距为， 所以函数的最小正周期为，即，所以，， 又因为将函数的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，所以 令，得 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为所以.     又因为 ， 又，则 ， 所以. 18．（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间，（2）证明见解析 【详解】（1）解：的定义域为，． 当时，，则的增区间为，无减区间． 当时，由，得． 当时，；当时，， 所以的减区间为，增区间． （2）证明：法一：要证明． 由于当时，，只要证． 设，则，， 所以在上是增函数． 又，， 所以存在，使得，即，． 所以当时，；当时，， 因此在上是减函数，在上是增函数， 所以有极小值，且极小值为． 因此，即． 综上，当时，． 法二：要证明，只要证． 设，则． 当时，；当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以是的极小值点，也是最小值点，且． 令，则． 当时，；当时，， 所以在上是增函数，在上是减函数， 所以是的极大值点，也是最大值点，且， 所以当时，，即． 综上，当时，． 法三：要证明． 由于当时，，只要证． 设， 令，则， 当时，；当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以是的极小值点，也是的最小值点，即． 设，则． 当时，；当时，， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以是的极小值点，也是的最小值点，即． 综上，（当且仅当时取等号），（当且仅当时取等号）， 所以， 故当时，． 19．(1)，， (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，中的各项依次为10，5，8，4，2，1，4，2，1，， 即数列从第四项开始每三项是一个周期， 所以，， ，，， 所以. （2）①若是奇数，则是偶数，， 由，得，解得，适合题意. ②若是偶数，不妨设，则. 若是偶数，则，由，得，此方程无整数解； 若是奇数，则，由，得，此方程无整数解. 综上，. （3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立. 否则，对每一个，都有， 则在为奇数时，必有； 在为偶数时，有，或. 因此，若对每一个，都有，则，，，单调递减， 注意到，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个，使得成立. 经检验，当，或，或时，中出现1； 当时，中出现3， 综上，中总有一项为1或3. 制作人： 审核人： 2 肥城六中高三数学组 1 学科网（北京）股份有限公司 $$