24.4.1弧长和扇形面积（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第24章 圆 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 24.4.1 弧长和扇形面积 BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 观察下列图形，你发现了什么？ BY YUSHEN BY YUSHEN 情境引入 思考：怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为这些弯道的“展直长度”是一样的. 甲 乙 4 5 思考：如图，在运动会的800米长跑比赛中，甲和乙分别在第4跑道和第5跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 当圆心角被平均分成4份时，圆周也被平均分成4份，AC的长是⊙O周长的 ⌒ D B C A O 弧与圆周的比等于圆心角与360°的比. 如图，∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°，弧AC的长与圆O的周长之间有何关系？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 当圆心角被平均分成8份时，圆周也被平均分成8份，AE的长是⊙O周长的 ⌒ B A C D O ● E F M N 弧与圆周的比等于圆心角与360°的比. 如图,∠AOE=∠COE=∠CON=∠BON=∠BOF=∠DOF=∠DOM=∠AOM=45°，弧AE的长与圆O的周长之间有何关系？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 1°的圆心角所对的弧的长是⊙O周长的 A O ● P 如图,∠AOP=1°，弧AP的长与圆O的周长之间有何关系？ 由此你可以得到什么结论？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 (1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 (4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ________. ________. ________. ________. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义． n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的. 弧长公式 弧是圆的一部分，因此求弧长的本质要抓住圆心角占圆周角的比例 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2， 则这个扇形的弧长=____. 2、已知扇形弧长为π，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____． 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的圆心角=____． 弧长公式 3 120° BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚 (如图),那么B点从开始至B2结束所走过的路径长度_______. B B2 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示的管道的展直长度L(结果取整数). 因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970（mm）. 答：管道的展直长度为2970mm． 700mm 700mm R=900mm ( 100 ° A C B D O 解：由弧长公式，得 的长 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 判断：下列图形是扇形吗？ √ × × × √ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 圆心角占 周角的比例 扇形面积占 圆面积的比例 扇形 的面积 = BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积 扇形面积公式 ①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数， 它是不带单位的； ②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）. BY YUSHEN BY YUSHEN ● O A B C D 新知探究 ● O A B D C E F 思考： 扇形的面积与哪些因素有关？ 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结 扇形的面积 与圆心角、 半径有关. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2， 则这个扇形的面积=____. 2、已知扇形弧长为π/3，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____． 3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积=____． 面积公式 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）. O r 60° 解：∵ n = 60，r = 10 cm， ∴ 该扇形的面积为 该扇形的周长为 例3 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BA=2分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π） C A B 6π-4. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 如图，已知圆O的半径1.5cm,圆心角∠AOB=58o,求AB的长(结果精确到0.1cm)扇形OAB的面积(结果精确到0.1cm2). 58o O A B 解 ∵r=1.5cm, n=58, ∴AB的长= ( ( BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积． 解：连接AD，则 ，垂足为D 根据勾股定理，得 A B C F E D 又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF, BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 弧长 计算公式： 扇形 公式 阴影部分面积 求法：整体思想 弓形 公式 S弓形 = S扇形 - S三角形 S弓形 = S扇形 + S三角形 割补法 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则劣弧BC的长等于（ ） A. B. C. D. 2．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以1cm为半径画圆，当n=2024时，则图中阴影部分的面积之和为（　　） A．2πcm2 B．πcm2 C．1012πcm2 　　D．2024πcm2 C B BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为4, ∠B=135°,则弧AC的长为( ) A. B. C. D. 4.如图,△ABC内接于圆O,∠B=65°,∠C=70°,若BC= , 则弧BC的长为( ) A. B. C. D. C A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 5.如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 6.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4, 以AB为直径的☉O交BC于点E,阴影部分的面积为( ) A. B. C. D. C A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7.钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是( ) A. B. C. D. B 9.已知扇形的圆心角为30°，面积为 3πcm2 ，则这个扇形的半径R=____． 8.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积为_______. 6cm BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 10．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，OA=6，则 BC 的长为 　　． 11.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是 　　．　　　　　　 ( 6π BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 12.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2). 解：在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m， ∴ AD = m. ∴ AB = 2AD = m. ∴ 截面上有水部分的面积为 S = S扇形AOB - SΔOAB O. B A C D BY YUSHEN BY YUSHEN $$