精品解析：山东省日照市东港区新营中学2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期 初三数学 期中考试试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 太阳从东方升起 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，即可解答． 【详解】解：A．对顶角相等是必然事件，不符合题意； B．太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； C．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，符合题意； 故选：D． 2. 如图，点A，B，C在上，，则的大小为 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据题意列出算式，计算即可． 本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 【详解】解：由圆周角定理得， ∵ ∴， 解得，， 故选：A． 3. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，首先分别求出转盘甲和转盘乙中白色区域占各自圆面积的一半，转换成概率即可得出答案．灵活运用所学的知识是解题的关键． 【详解】解：转盘甲，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 转盘乙，白色区域占该圆总面积的，转盘的指针停在白色区域的概率为； 因此转盘甲和转盘乙中转盘的指针停在白色区域的概率均为， 故选：C． 4. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为（ ） A. ，3 B. 6， C. 6，3 D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度． 【详解】解：如图，正方形的外接圆半径与内切圆半径分别为，， 正方形的边长为6， ， 又， ， ， 即外接圆半径为，内切圆半径为3． 故选：A． 5. 设的半径为，圆心到直线的距离且使得关于的一元二次方程有实数根，则直线与的位置关系为（） A. 相离或相切 B. 相离或相交 C. 相切或相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】欲求圆与AB的位置关系，关键是求出圆心到直线的距离，再与半径r=2进行比较，即可求解．若m<r，则直线与圆相交；若m=r，则直线于圆相切；若m>r，则直线与圆相离．已知有实数根， △=b2−4ac⩾0，即可得出m的取值范围，再与r比较即可求解． 【详解】∵关于x的方程有实数根， ∴△=b2−4ac⩾0， 即8−4×2×(m−1)⩾0， ∴m⩽2， 又∵⊙O的半径为2 所以直线与圆相切或相交． 故选：C 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，已知方程的解的情况，可根据根的判别式，确定一元二次方程系数的取值范围． 6. 鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图是一个半径为的半圆形的鹄韬玉石，是半圆的直径，是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，扇形的面积，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形面积公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块玉石的面积， 故选：． 7. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 过点作于，则，设圆形纸片的半径长为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， 设圆形纸片的半径长为，则， ∵， ∴， 解得， ∴圆形纸片的半径长是， 故选： 8. 如图，正六边形内接于，点P在边上．结论Ⅰ：若的半径为2，P是边的中点，则的长为；结论Ⅱ：连接．若，则的长为，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ对 B. 只有结论Ⅱ对 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，过点D作于点H，证明,求出，，根据勾股定理即可得到，设点N是边的中点，连接并延长交于点M，连接，过点D作于点H，设正六边形的边长为a，求出和a的值，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、，过点D作于点H， ∵六边形为正六边形， ∴，，，， ∴， 是等边三角形， ∴，,， ∴， ∵P是边的中点， ∴， ∴， 故结论Ⅰ正确； 设点N是边的中点，连接并延长交于点M，连接，过点D作于点H，设正六边形的边长为a， ∵六边形为正六边形， ∴，， ，，， ∴， 由Ⅰ的解答过程可知，， ,， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故Ⅱ正确， 故选：C 【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识，用到了解直角三角形、勾股定理、弧长公式、矩形的判定和性质等知识，正确推理和数形结合是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动(如图)，点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设第n秒运动到Pn(n为自然数)点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P4n+1( ，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)”，依此规律即可得出结论． 【详解】解：设第n秒运动到Pn(n为自然数)点， 观察，发现规律：P1(，)，P2(1，0)，P3(，﹣)，P4(2，0)，P5(，)，…， ∴P4n+1(，)，P4n+2(n+1，0)，P4n+3(，﹣)，P4n+4(2n+2，0)． ∵2019＝4×504+3， ∴P2019为(，﹣)， 故答案为B． 【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律并根据规律找出点的坐标． 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，结合三角函数即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴是的直径， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴，, ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断该三角形为直角三角形，直角边为6、8，斜边为10，再根据直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，即可得到答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为6、8、10， ， 该三角形为直角三角形，直角边为6、8，斜边为10， 内切圆的半径为， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆用，直角三角形的内切圆的半径公式，熟练掌握直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键． 12. 如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1” “2” “3” “5” “8”，任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的计算方法，熟练掌握计算方法是解题关键．由于圆形转盘等分为5个扇形，根据概率=相应的面积与总面积之比，求出奇数在整个圆形转盘中所占的比例即可求解． 【详解】解： 圆形转盘等分为5个扇形，奇数区域为“1” “3” “5” 占了3等份，偶数区域为“2”“8”占了2等份， 奇数区域占圆盘总面积的， 任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为． 故答案为：． 13. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，牢记公式是解题的关键． 根据题意得到圆锥的底面半径为4，高为3，然后利用勾股定理求出母线长，然后利用圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】根据题意得，圆锥的底面半径为4，高为3 ∴母线长为 ∴圆锥模型的侧面积为． 故答案为：． 14. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为、、、，则属于化学变化的有、， 画树状图如下： ， 共有12种等可能出现的结果，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的情况有种， ∴这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是， 故答案为：． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形等知识点，根据题意可推出，进而得是等边三角形，据此即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵直径垂直于弦， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形； ∵， ∴； 故答案为：． 16. 如图，弧所对圆心角，半径为6，点C是中点，点D是弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及旋转性质、正方形性质、圆的半径相等、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，如图所示，连接，以为边向下作正方形，连接，．利用勾股定理求出，再证明，推出，由，可得结论． 【详解】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接，，则， ∵半径为6，点C是中点， ∴，， ，， ， ∵，绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ， ， 在和中 ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 【答案】（1） 解：圆心D如图所示； 圆心坐标为； （2） （3）点E在内部 【解析】 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）根据网格特点，利用勾股定理即可求解； （3）利用勾股定理求出，与（2）求得的半径比较，即可判定位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理得半径为：； 【小问3详解】 解：点E在内部； ， 而， 故点E在内部． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 【答案】（1）100 （2） 补图如下： ； （3）1200人 （4） 【解析】 【分析】（1）利用优秀人数÷优秀人数所占百分比即可； （2）分别求出及格人数与良好人数，补画条形图即可； （3）先求出样本中良好以上的百分比，再用样本的百分比×该校总人数计算即可； （4）画树状图，列举所有等可能情况，从中找出满足条件的情况，利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴王老师抽取了100名学生的参赛成绩， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：及格人数为， 良好人数为， 补图略 【小问3详解】 解： ∴估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有1200人； 【小问4详解】 解：画树状图如下， 由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中两班都考同一试卷的情况有4种， ∴两个班同时选中同一套试卷的概率为． 【点睛】本题考查从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率，掌握从条形图与扇形图获取信息与处理信息，样本容量，画条形图，用样本的百分比含量估计总体中的数量，画树状图求概率是解题关键． 19. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 【答案】 （1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2） 【解析】 【分析】（1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】解：（1）略 （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 20. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接并延长交于点，连接，如图， ，， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， 四边形为矩形， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长交于点，如图，先证明垂直平分得到，再根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，于是可判断四边形为矩形，所以，从而得到结论； （2）先利用垂直平分得到，再利用四边形为矩形得到，接着在中利用勾股定理计算出，设的半径为，则，，由勾股定理可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：垂直平分， ， 四边形为矩形， ， 在中，，， ， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】 （1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②半径为， 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）①略 ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 22. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）该弧所在圆的半径长为______； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； （3）如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； （4）如图4，在边长为9的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 【答案】（1）2 （2） 证明：设与圆弧交点为E，连接，则，如图， ∵是的一个外角， ∴， ∴； （3） 如图：点即为所求； （4） 【解析】 【分析】（1）过点C作，交圆弧于点D，连接，由圆周角定理得到为该弧所在圆直径，，进而求出的长即可； （2）设与圆弧交点为E，连接，由圆周角定理得到，三角形的外角的性质，得到，即可得证； （3）过点B作，在上截取，连接，作的中垂线，交于点O，以O为圆心，的长为半径画圆，与直线l的交点，即为点P； （4）以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，，得到，证明点P在上，垂直平分，利用三线合一和含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进一步求出的长即可． 【小问1详解】 解：过点C作，交圆弧于点D，连接，如图， 则为该弧所在圆直径，， ∴， ∴该弧所在圆的半径为； 故答案为：2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由作图可知：为等腰直角三角形， ∴， 由同弧所对的圆周角相等，得到； 【小问4详解】 解：以为边，在的下方作等边，构造的外接圆，连接，，则 ∴，， ∴点在上， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分，， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 故答案国：． 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，四点共圆，等边三角形的性质，三线合一，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作垂线，线段和圆等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键． 23. 如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． （1）把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； （2）如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 【答案】（1）① ②， （2） 【解析】 【分析】（1）①如图所示，连接，根据折叠的性质可得是等边三角形，可得，再根据弧长公式即可求解； ②如图所示, 过点作, 垂足为点, 则, 根据题意可得, 由此即可求解; （2）如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形，中, 可求出的长度, 再证, 由此即可求解. 【小问1详解】 解：①如图所示, 连接, 由翻折可知，， ， ， 是等边三角形， ， ∴弧的长； ，理由如下， 如图所示，过点作垂足为点，则， ∵ ∴， 在与中, ， ∴， ∴，即， 又∵， ∴, , 即, ∴, ∴； 【小问2详解】 解：如图所示, 将沿着翻折得, 过点作, 垂足为点, 过点作，垂足为点，则四边形是矩形， 由折叠和（1）可知, , ， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴, ，即， 解得， ． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期 初三数学 期中考试试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 对顶角相等 B. 太阳从东方升起 C. 任意画一个三角形，其内角和为 D. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 2. 如图，点A，B，C在上，，则的大小为 （　　） A. B. C. D. 3. 用力转动转盘甲和转盘乙的指针，两个转盘的指针停在白色区域的概率分别为，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定，的大小 4. 若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径分别为（ ） A. ，3 B. 6， C. 6，3 D. ， 5. 设的半径为，圆心到直线的距离且使得关于的一元二次方程有实数根，则直线与的位置关系为（） A. 相离或相切 B. 相离或相交 C. 相切或相交 D. 无法确定 6. 鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图是一个半径为的半圆形的鹄韬玉石，是半圆的直径，是弧上两点．若，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把圆形纸片放在长方体纸盒内，纸片的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则圆形纸片的半径长是（　　） A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，正六边形内接于，点P在边上．结论Ⅰ：若的半径为2，P是边的中点，则的长为；结论Ⅱ：连接．若，则的长为，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ） A. 只有结论Ⅰ对 B. 只有结论Ⅱ对 C. 结论Ⅰ、Ⅱ都对 D. 结论Ⅰ、Ⅱ都不对 9. 在平面直角坐标系中，若干个半径为1的单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，向右沿这条曲线做上下起伏运动(如图)，点P在直线上运动的速度为每1个单位长度．点P在弧线上运动的速度为每秒个单位长度，则2019秒时，点P的坐标是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，，，，则的半径是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 三边长分别为6、8、10的三角形的内切圆的半径长为______． 12. 如图，圆形转盘等分为5个扇形，5个扇形分别标有数字“1” “2” “3” “5” “8”，任意转动转盘1次，指针指向奇数的概率为_____________． 13. 草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，并用测量工具测量其尺寸，如图所示，由图中的数据可知圆锥模型的侧面积为______． 14. 如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同．现将所有卡片背面朝上洗匀后从中随机抽取两张，这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率是______． 15. 如图，是⊙O的内接三角形，，直径垂直于弦于点E，连接．若，则的长为______． 16. 如图，弧所对圆心角，半径为6，点C是中点，点D是弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是______． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点，现在以格点为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）请标出该圆弧所在圆的圆心，并写出圆心的坐标； （2）求的半径； （3）若点的坐标是，试判断点与的位置关系，并说明你的理由． 18. 为加强法制和安全教育，某学校印发了上级主管部门的“法治和安全等知识”学习材料．经过一段时间的学习，同学们都表示有了提高，为了解具体情况，学校开展了一次全校性竞赛活动，王老师抽取了这次竞赛中部分同学的成绩，并绘制了下面不完整的统计图表． 参赛成绩 人数 m 15 n 40 级别 及格 中等 良好 优秀 请根据所给的信息解答下列问题： （1）王老师抽取了_______名学生的参赛成绩； （2）将条形统计图补充完整； （3）若该校有1600名学生，请估计竞赛成绩在良好以上（）的学生有多少人？ （4）在本次竞赛中，学校发现六（1）班、七（4）班的成绩不理想，要求这两个班加强学习一段时间后，再由电脑随机从A，B，C，D四套试卷中给每班派发一套试卷进行测试，请用列表或画树状图的方法求出两个班同时选中同一套试卷的概率． 19. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 20. 如图，A，B，C，D是上的四点，是直径，，的切线交的延长线于点E． （1）求证： ； （2）若，，求的半径． 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 22. 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单： 已知线段，在的上方画，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）． （1）该弧所在圆的半径长为______； （2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图2所示的弓形外部，我们记为，请你证明； （3）如图3，已知线段和直线l，在直线l上求作点P，使得，尺规作图，保留作图痕迹； （4）如图4，在边长为9的等边中，动点P在内部，且，连接，则的最小值为______． 23. 如图1，扇形中，，，点P在半径上，连接． （1）把沿翻折，点O的对称点为点Q． ①当点Q刚好落在弧上，求弧的长； ②如图2，点Q落在扇形外，与弧交于点C，过点Q作，垂足为H，，求的长，猜想并直接写出、、三者之间的数量关系； （2）如图3，记扇形在直线上方的部分为图形W，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E，弧与交于点F，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $