3.2.1双曲线及其标准方程课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1 双曲线及其标准方程 高二数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 教学目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程； 2.掌握双曲线的定义和标准方程，并解决简单的几何问题； 3.核心素养：直观想象、数学运算。 1. 椭圆的定义 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的 2. 引入问题： 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点F1、F2的距离的 复习 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 1.画双曲线 演示实验：画双曲线 一、探究新知 ①如a图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， 上面 两条合起来叫做双曲线 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数 小于︱F1F2︱的点的轨迹叫做双曲线. 注意 | |MF1| - |MF2| | = 2a (1)距离之差的绝对值 (2)常数要小于|F1F2|大于0 0<2a<2c 回忆椭圆的定义 2.双曲线的定义 F 1 o 2 F M 试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？ 当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹 ； 当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹 ； 因此，在应用定义时，首先要考查 . 双曲线的右支 双曲线的左支 以F1、F2为端点的两条射线 不存在 2a与2c的大小 线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 M F1 F2 M 若a=0，动点M的是轨迹_______________________. 若a=c，动点M的轨迹 ； 若a>c，动点M的轨迹 . F1 F2 F1 F2 二、双曲线标准方程的推导 ① 建系 使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线. O ② 设点 设 是双曲线上任一点， 焦距为 ，那么 焦点 ③ 列式 将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知： 即： 设 代入上式整理得： 两边同时除以 得： ④化简 这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2. 思 考 类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 其中c2=a2+b2. 这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y 4.双曲线的标准方程 判断： 与 的焦点位置？ 5.思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的 焦点是在X轴上还是Y轴上？ 结论： 看 前的系数，哪一个为正, 则焦点在哪一个轴上. 定义 图形 方程 焦点 a.b.c的关系 焦点位置的判定 ||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|） F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c) c2=a2+b2 看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦点就在哪一条轴上 F2 F1 F2 F1 M M 定 义 焦 点 a、b、c的关系 F（±c，0） F（±c，0） a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 a>b>0，a2=b2+c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系： ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭圆 双曲线 F（0，±c） F（0，±c） 口答：判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标. (1) (2) (3) (4) 2.课本121页1,2,3题 定义 图象 方程 焦点 a.b.c 的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） F ( ±c, 0) 　 F(0, ± c) 由方程定焦点： 椭圆看大小,双曲线看符号 三、课堂小结 作业: 课本P121 4. 习题3.2 1.2 题 所以点P的轨迹方程为 . 例1(参考课本P120 例 ) 已知双曲线两焦点 , ,点 满足 , 求双曲线的标准方程. ∴2a=6, a=3 ∴a2=9, c2=25, b2=16 解： ∵焦点为 ∴可设所求方程为: (a>0,b>0). ∴c=5, $$