精品解析：浙江省绍兴市上虞中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题

上虞中学2024学年第一学期高二数学期中测试 命题：吕春来 校对：裘桂红 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的斜率即可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为满足，即 故选：C. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为,即. 3. 直线l：与圆C：的位置关系是　　 A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出直线和圆的距离，即可作出判断. 【详解】圆C：的圆心坐标为：， 则圆心到直线的距离， 所以圆心在直线l上， 故直线与圆相交． 故选C． 【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用． 4. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 【答案】A 【解析】 【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得. 【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线. 故选：A. 5. 已知动点在所在平面内运动，若对于平面ABC外的一点，有，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 6. 已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 7. 已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系先确定的最大时，P的位置，根据点到线的距离公式计算即可. 【详解】由圆，可知其圆心，半径为r， 由切线的性质易知，则取最大时，最小，即， 所以， 又的最大值为，所以此时，则的值为. 故选：D 8. 棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先证明PD=2PC，再在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系，求出，再利用三角函数的图象和性质求出|AP|的最小值. 【详解】 设，所以，， 所以PD=2PC. 在底面ABCD内建立如图所示的直角坐标系， 设点P(x,y),则， 整理得， 所以， 即,所以|AP|的最小值为2. 故选：A 【点睛】本题主要考查线面角的计算，考查空间几何的轨迹问题，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的截距式为 C. 关于直线的对称点为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用两点斜率公式可判定A，利用截距式方程可判定B，利用中点坐标公式结合两直线垂直可求对称点判定C，利用二次函数的性质可判定D. 【详解】易知，故A正确； 由可知直线的截距式为，故B错误； 设原点关于直线的对称点为，则在直线上， 且原点与其对称点连线与直线垂直，即，解之得，故C正确； 易知，则，时取等号，故D正确. 故选：ACD 10. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（ ） A. 若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B. 点到的距离是 C. 不存在点，使得直线平面 D. 直线与所成角余弦值的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示可判定A，由空间向量研究线面关系可判定C，由空间向量计算线线夹角可判定D，根据线面关系可判定B. 【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直， 平面平面，平面， 所以平面，故可以以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴建立空间直角坐标系， 则， ，所以， 所以点关于平面对称的点坐标为，故A错误； 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 若直线平面，则， 显然存在点，使得直线平面，故C错误； 设直线与所成角为，则， 若，则， 若，则， 易知单调递增，即，故D正确； 易知平面，平面，则，， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 则点到的距离为，故B正确. 故选：BD 11. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线上一点处的曲率半径公式为则下列说法正确的是（ ） A. 对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为 B. 若某焦点在上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则椭圆离心率为 C. 若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为 D. 椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出曲率半径判断A；求出曲率半径关于的函数关系，再求出其范围判断BCD. 【详解】对于A，半径为的圆中，，点在圆上， 则，， 因此对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为，A正确； 对于B，由，得， 则， ，由，得，则， 于是，即，， 而，解得，B正确； 对于C，椭圆（）上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1， 由选项B知，，则，解得， 所以椭圆方程为，C正确； 对于D，由选项C知，，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：求解曲率半径的最大与最小值关键是利用定义，结合曲线方程求出函数关系. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示，表示出向量，再计算其模. 【详解】. 故答案为： 13. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设为右焦点，由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设为右焦点，半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，，所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等，所以的最小值为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛： 关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 曲线且 （1）若曲线表示双曲线，求的取值范围； （2）当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程的特征得到不等式，求出； （2）时，求出，设，，根据垂直关系得到方程，结合，求出，得到答案. 【小问1详解】 表示双曲线，则， 解得， 故的取值范围是； 【小问2详解】 时，曲线为双曲线， 设，，故， 因为， 所以， 解得， 故点的横坐标为. 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解； （2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解． 【小问1详解】 ∵为线段的中点，∴， ∵，∴， ∴ ； 【小问2详解】 ． 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长； （3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可； （2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解； （3）由题可得，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号．设为关于x轴的对称点，可得，即 ，即可求解的最小值. 【小问1详解】 解：设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ， 于是有 ①， 因为点A在圆上运动，即： ②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 解：将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1，且到直线的距离， 则； 【小问3详解】 解：圆是以为圆心，半径的圆， 圆是以为圆心，半径的圆， 所以①，当且仅当A在线段且C在线段上时，取等号． 设为关于x轴的对称点，则，代入①式得：  ，当且仅当共线时，取等号． 所以的最小值为． 18. 图1是直角梯形，， ，以为折痕将折起，使点到达的位置．且如图2． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点F，连接， 因为， 所以， 则均为等边三角形，所以， 则折叠后有， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）． 【解析】 【分析】（1）取的中点F，利用条件判定为等边三角形，结合线线垂直判定平面即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，由条件确定从而得出相应点的坐标，由空间向量计算二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设在底面的投影为O，由上易知O在直线上，且， 所以，即， 所以， 过O作，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令， 即， 而底面的一个法向量为， 易知二面角的一个平面角为锐角，设其为， 所以. 【点睛】 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明:联立，得， 则，且， 因为点关于轴的对称点为点，所以， AI 则直线的方程为， 根据对称性可知，直线经过的定点必在轴上， 令，得 ， 当时，， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据曲线的定义列式，结合椭圆标准方程的特点求解； （2）（i）根据曲线的定义求出曲线的方程，联立方程组，利用弦长公式求解；（ii）联立直线与曲线的方程，可得根与系数关系，求出直线的方程为，令，运算求解的为定值，得证. 【小问1详解】 设，由，得. 由，得. 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则且， 所以可化为，所以， 则，故的取值范围为. 【小问2详解】 由得，化简得曲线的方程为， 则的右焦点为，设，， （i）联立，得， 则，且， 所以， （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上虞中学2024学年第一学期高二数学期中测试 命题：吕春来 校对：裘桂红 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. 30° C. 60° D. 120° 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线l：与圆C：的位置关系是　　 A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不确定 4. 已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A. 射线 B. 直线 C. 椭圆 D. 双曲线的一支 5. 已知动点在所在平面内运动，若对于平面ABC外的一点，有，则实数的值为（ ） A. 2 B. 0 C. D. 1 6. 已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是直线上的动点，过点引圆的两条切线为切点，当的最大值为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 8. 棱长为2的正方体中，为的中点，在底面内运动，与平面所成角为，与平面所成角为，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 1 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，直线上有一动点，下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率为 B. 直线的截距式为 C. 关于直线的对称点为 D. 的最大值为 10. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，点是线段上的动点，则下列命题中正确的是（ ） A. 若建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，为轴正半轴的空间直角坐标系，则点关于平面对称的点坐标为 B. 点到的距离是 C. 不存在点，使得直线平面 D. 直线与所成角余弦值的取值范围是 11. 曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的点，已知对于曲线上一点处的曲率半径公式为则下列说法正确的是（ ） A. 对于半径为的圆，其圆上任意一点曲率半径为 B. 若某焦点在上的椭圆上一点处的曲率半径的最小值为（半焦距），则椭圆离心率为 C. 若椭圆上所有点相应的曲率半径最大值为8，最小值为1，则椭圆方程为 D. 椭圆上一点处的曲率半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，已知点，则__________. 13. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________． 14. 已知离心率为 的椭圆和离心率为的双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点．线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 曲线且 （1）若曲线表示双曲线，求的取值范围； （2）当，点在曲线上，且点在第一象限，，，求点的横坐标． 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点． （1）以为一组基底表示向量； （2）若，，，求． 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长； （3）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 18. 图1是直角梯形，， ，以为折痕将折起，使点到达的位置．且如图2． （1）证明：； （2）求二面角的余弦值． 19. 已知为坐标原点，动点到轴的距离为，且，其中均为常数，动点的轨迹称为曲线. （1）若曲线为焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. （2）设曲线为曲线，斜率为的直线过的右焦点，且与交于两个不同的点. （i）若，求； （ii）若点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $