第三章 一次方程（组） 同步训练 2024-2025学年湘教版（2024）数学七年级上册

一次方程（组） 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若关于，的方程组 的解中的值比的值大2，则为（    ） A． B． C． D．1 2．下列方程变形错误的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．中国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？若设木头长为尺，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列利用等式的性质，错误的是（    ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由．得到 5．一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．若是关于的二元一次方程的一组解，则a的值为（    ） A． B． C．2 D．7 二、填空题 7．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 个图形中有1758个★． 8．已知是二元一次方程的一组解，则 ． 9．把一些图书分给某组学生阅读，如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本，这个小组的学生有 人． 10．请写出方程的一组正整数解 或 ． 11．据记载，“幻方”源于我国古代的“洛书”，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等，则mn的值为 ． 5 9 8 13 12．某水果店销售40千克香蕉，第一天售价为8元/千克，第二天降为6元/千克，第三天再降为4元/千克．三天全部售完，共计所得240元．若该店第二天销售香蕉k千克，则第三天销售香蕉 千克．（用含k的代数式表示） 三、解答题 13．阅读探索 （1）知识积累 解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组，得 即 所以有 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高运用上述方法解方程组： 14．已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示． (1)试求出的周长； (2)当点移动到边上时，化简：； (3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？ 15．解方程（组）； (1) (2) 16．解方程：． 17．某水果店以元/千克的价格购进一批橘子，由于销售良好，该店又再次购进同一种橘子，第二次进货价格比第一次每千克便宜，所购橘子质量恰好是第一次购进橘子质量的倍，这样该水果店两次购进橘子共花去元． (1)求该水果店两次分别购买了多少千克橘子？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但水果店仍以相同的价格售出，若第一次购进的橘子销售时有的损耗，第二次购进的橘子销售时有的损耗，并且在销售过程中的其他费用为元，如果该水果店希望售完这些橘子共获得元的利润，那么该水果店每千克橘子的售价应定为多少元？ 18．在没有开通高速公路以前，王老师从杉木村驾车到县城需要2小时．高速公路开通以后，王老师的车速平均每小时提高了60公里，结果40分钟就从杉木村到了县城． (1)假设开通高速公路前后从杉木村驾车到县城的路程不变，求王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速； (2)实际上在高速公路开通以后从杉木村到了县城的路程还减少了20公里，求王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速． 19．随着人工智能技术的进步，在日常生活中越来越多地运用人工智能技术来处理事情．某快递公司为了解决如何在大型快递中转场提高分拣效率这一核心问题，计划选用A、B两种型号的分拣机器人进行快递分拣工作，已知每台A型机器人和每台B型机器人平均每分钟分拣的货物数量均为定值，且2台A型机器人和6台B型机器人每分钟共分拣件货物；4台A型机器人和3台B型机器人每分钟共分拣件货物．问每台A型机器人和每台B型机器人平均每分钟各分拣多少件货物？ 20．对于数轴上不同的三个点M，N，P，若满足，则称点P是点M关于点N的“k倍分点”．例如，在数轴上，点M，N表示的数为，1，可知原点O是点M关于点N的“2倍分点”，原点O也是点N关于点M的“倍分点”． 在数轴上，已知点A表示的数是，点B表示的数是2． (1)若点C在线段AB上，且点C是点A关于点B的“5倍分点”，则点C表示的数是 ； (2)若点D在数轴上，，且点D是点B关于点A的“k倍分点”，求的值； (3)点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动．当点E运动t秒时，在A，B，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍分点”，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B C B B A 1．D 【分析】由4x-3y=10，x-y=2组成方程组，即可解出x、y的值，再代入含有k的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程组， 又x-y＝2③， 由方程①③组成方程组， 解得，代入方程②得，4k+2（k+1）＝8， 解得k＝1， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组及其解法，消元时解二元一次方程组的基本思想． 2．B 【分析】等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 由，得，变形正确，不符合题意； B. 由，得，故变形错误，符合题意； C. 由，得，变形正确，不符合题意； D. 由，得，变形正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题关键． 3．C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程．设木头长x尺，表示出绳长，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，可知木头比绳子的一半长一尺，即可列出方程． 【详解】解：设木头长x尺，则绳长尺， 根据题意可得：． 故选：C． 4．B 【分析】根据等式的性质逐项分析即可判断． 【详解】解：A．∵，∴，∴，故正确； B．当时，由，不能得到，故不正确； C．∵，∴，故正确； D．∵，∴，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式． 5．B 【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1． 6．A 【分析】把代入方程，即可求解． 【详解】∵是关于的二元一次方程的一组解， ∴， ∴a=-5， 故选：A 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键． 7．586 【分析】根据图形可得：第1个图形中五角星的个数为：，第2个图形中五角星的个数为：，第3个图形中五角星的个数为：，第4个图形中五角星的个数为：，．．．，据此可得到第n个图形中五角星的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第1个图形中五角星的个数为：， 第2个图形中五角星的个数为：， 第3个图形中五角星的个数为：， 第4个图形中五角星的个数为：， ．．．， ∴第n个图形中五角星的个数为：， ∴， 解得∶． 故答案为：586． 【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． 8．2024 【分析】把代入方程ax-by=1得出3a-2b=1，再代入求出答案即可． 【详解】解：把代入方程ax-by=1得：3a-2b=1， ∴ =2024 故答案为：2024． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值，能熟记二次一次方程的解的定义是解此题的关键． 9．5 【分析】设这个班有x名学生，根据“如果每人分4本，则剩余1本；如果每人分5本，则还缺4本”建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组的学生有x本 4x+1=5x-4 x=5 故答案为：5． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 10． 【分析】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．由题意求方程的解且要使，都是正整数，将方程移项将和互相表示出来，在由题意要求，根据以上两个条件可夹出合适的值从而代入方程得到相应的值． 【详解】解：由已知方程， 移项，系数化为1得， 又，都是正整数， 则有， 又， ， 又为正整数， 是3的倍数， 、4， 代入方程得相应、2， 方程的一组正整数解为：，． 故答案为：， 11．6 【分析】根据幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列方程解答． 【详解】解：∵幻方中，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的和均相等， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母之和均相等列得方程组是解题的关键． 12．（） 【分析】设第三天销售香蕉千克，则第一天销售香蕉千克，根据三天的销售额为240元列出方程，求出即可． 【详解】解：设第三天销售香蕉千克，则第一天销售香蕉千克， 根据题意，得：， 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列代数式及解一元一次方程，解题的关键是理解题意，抓住相等关系列出方程，从而表示出第三天销售香蕉的千克数． 13． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设，则原方程组可变为，解方程组得到，据此求解即可． 【详解】解：设，则原方程组可变为， 解得， ∴， ∴． 14．(1)15； (2)35． (3)t为s或s 【分析】（1）a是最小的合数，则a=4，根据非负数的性质得到b=5，c=6，则△ABC的周长可求出； （2）由题意知S的取值范围，由绝对值的意义化简即可； （3）分两种情况，当P在Q前面，当P在Q后面，列出方程解出t即可． 【详解】（1）∵a是最小的合数， ∴a=4， ∵， ∴b-5=0，c-6=0， ∴b=5，c=6， ∴BC=4，AC=5，AB=6， ∴△ABC的周长=BC+AC+AB=4+5+6=15； （2）∵点P移动到AC边上，AB+AC=6+5=11， ∴6≤S≤11， ∴S-4＞0，3S-6＞0，4S-45＜0， ∴|S-4|+|3S-6|+|4S-45|=S-4+3S-6+45-4S=35． （3）①按顺时针方向移动，若P在Q的前面， ∴3t+4-5t=3， 解得：t=． 此时点P在AB上． ②按顺时针方向移动，若Q在P的前面， ∴5t-4-3t=3， 解得：t=． 此时点P在AC上． 综合以上可得，当t为s或s时，P、Q两点的路径（在三角形的边上的距离）相差为3，此时点P分别在AB，AC上． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的周长，非负数的性质，绝对值的化简，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程和二元一次方程组： （1）方程按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）方程求得，再把代入①得，即可得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：； （2）解： ，得：， 解得，， 把代入①得， 解得，， ∴方程组的解为． 16． 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项整理得：， 解得：． 17．(1)第一次购进，第二次购进 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意找到所求的量的等量关系，列出方程． （1）设水果店第一次购进橘子，则第二次购买橘子千克，根据“购进同一种橘子，第二次进货价格比第一次每千克便宜了，所购橘子质量恰好是第一次购进橘子质量的倍”，“两次购进橘子共花去了元”列出方程并解答； （2）设该水果每千克售价为元，，则由“售完这些橘子共获得元的利润”列出方程并解答． 【详解】（1）解：设第一次购进橘子， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ， 第一次购进，第二次购进； （2）设橘子售价应定为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 橘子售价应定为元． 18．(1)公里/小时； (2)公里/小时． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，申请题意、找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）设王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为x公里/小时，则开通后车速为公里/小时，根据等量关系“开通高速公路前后从杉木村驾车到县城的路程不变”列一元一次方程求解即可； （2）在高速公路开通以后驾车的平均车速y公里/小时，则开通以前车速为公里/小时，根据等量关系“高速公路开通以后从杉木村到了县城的路程还减少了20公里” 列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设王老师在高速公路开通以前驾车的平均车速为x公里/小时，则开通后车速为公里/小时，而小时， 由题意得：，解得：． 答：王老师在高速公路开通前驾车的平均车速为公里/小时． （2）解：设王老师在高速公路开通以后驾车的平均车速y公里/小时，则开通以前车速为公里/小时， 由题意得，解得． 答：王老师在高速公路开通后驾车的平均车速为105公里/小时． 19．每台A型机器人平均每分钟分拣件货物，每台B型机器人平均每分钟分拣件货物 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每台A型机器人平均每分钟分拣x件货物，每台B型机器人平均每分钟分拣y件货物，根据2台A型机器人和6台B型机器人每分钟共分拣件货物；4台A型机器人和3台B型机器人每分钟共分拣件货物，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台A型机器人平均每分钟分拣x件货物，每台B型机器人平均每分钟分拣y件货物． 根据题意，得， 解得． 答：每台A型机器人平均每分钟分拣件货物，每台B型机器人平均每分钟分拣件货物． 20．(1)1 (2)k的值为或 (3)t的值为1或2或6 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，理解“k倍分点”的定义． （1）根据“k倍分点”的定义即可求解； （2）分两种情况：①当点D在点A左边时；②当点D在点A右边时；根据“k倍分点”的定义，即可求出k值； （3）根据题意可得，，，分四种情况：①当时；②当时；③当时；④时；根据“倍分点”的定义，列出方程即可求解． 【详解】（1）∵点C是点A关于点B的“5倍分点”， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴点C表示的数1； 故答案为：1； （2）①当点D在点A左边时， ∵点A表示的数是，点B表示的数是2，， ∴点D表示的数为， ∴， ； ②当点D在点A右边时， ∵点A表示的数是，点B表示的数是2，， ∴点D表示的数为6， ∴， ∴； 综上，k的值为或； （3）∵点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴， ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：； ③当时， 即， 解得：； ④当时， 即， 解得：； 综上，t的值为1或2或4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$