第六章 平面向量初步 单元测试-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第六章 平面向量初步 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知向量，，满足：，且，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2．已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知向量，，，其中与是相反向量，且，，则（    ） A． B． C． D．8 4．在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，若，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 6．已知， 则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在中，是边AB的中点，是线段CD的中点，则下列结论可能成立的是（    ） A． B． C． D． 8．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 9．已知点O是△ABC的外心，若，则cos∠BAC= ． 10．向量平行的有关概念 （1）如果两个非零向量所在的直线 ，那么称这两个向量平行. （2）规定：零向量 任意向量. 11．已知，若，则 . 12．已知不共线，向量，，且，则的值为 . 四、解答题 13．已知向量，． (1)若，且，求； (2)若，且存在使得，求实数a的取值范围． 14．如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.    (1)求； (2)求的余弦值. 15．根据要求完成下列问题： (1)设两个非零向量、不共线，如果、、，求证、、三点共线； (2)设、是两个不共线的向量，已知、、，若、、三点共线，求的值. 16．如图，平行四边形ABCD中，已知，，设，. (1)用向量和表示向量，； (2)若，，求实数x和y的值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B D C C AD BD 1．D 【分析】由三角形重心、外心性质得到是三角形的重心、外心，从而得到三角形为等边三角形. 【详解】因为，所以是三角形的重心，又因为，所以是三角形的外心， 所以三角形是等边三角形. 故选：D. 2．C 【分析】等价于等价于点为重心. 【详解】充分性： 等价于： 等价于： 等价于： 所以为的靠近的三等分点，所以点为重心； 必要性：若点为重心，由重心性质知，故 故选：C 3．B 【分析】根据题意得，将和联立即可求出的坐标及模. 【详解】由题可知，则，即， 解得，∴. 故选：B. 4．D 【分析】根据向量的加减法法则结合已知条件逐个分析判断即可 【详解】因为在平面四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， 所以， 因为， 所以, 所以A正确， 因为， 所以，所以B正确， 因为， 所以，所以C正确， 因为， 所以D错误， 故选：D 5．C 【分析】先写出的坐标，再由可求得参数. 【详解】∵向量． ∴， ∵， ∴，解得． 故选：C． 6．C 【分析】利用向量的坐标表示求解. 【详解】解：因为， 所以（3，-4）， 故选：C 7．AD 【分析】利用向量的线性表示及数量积的运算律计算判断AD；利用向量的线性表示及平面向量基本定理判断B；利用反证法的思想结合几何意义判断C. 【详解】对于A，由是线段CD的中点，得， 则， 当时，，即，A可能成立； 对于B，，而不共线， 则与不共线，因此与不共线，B不可能成立； 对于C，若成立，而是线段CD的中点，则， 则点在以点为圆心的圆上，必有不共线与是AB的中点矛盾， 因此不成立，C不可能； 对于D，， 取，则有，D可能成立. 故选：AD 8．BD 【分析】利用不共线的两个非零向量可以作为一组基底一一判断求解. 【详解】对A，因为为零向量，所以不能作为基底，A错误； 对B，因为，所以不共线，可以作为基底，B正确； 对C，因为，所以共线，不能作为基底，C错误； 对D，因为，所以不共线，可以作为基底，D正确； 故选：BD. 9． 【分析】为外心，得，，同理， ，进而根据，进而列出相关方程求解即可 【详解】 连接，，，因为为外心，所以，是边上垂直平分线的交点，所以，且，，同理， 构造方程组 解得（负值已舍去） 故答案为： 10． 平行或者重合 平行于 【分析】略 【详解】略 11． 【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表达式列方程计算即得.， 【详解】由因，则得：，解得：. 故答案为：. 12． 【分析】设，由此可构造方程组求得结果. 【详解】由可设：，则， ，解得：. 故答案为：. 13．(1) (2) 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出，结合倍角公式求解即可； （2）由数量积公式、三角函数的性质结合得出实数a的取值范围． 【详解】（1）由得， 由知， ∴， 即， ∴． （2）由题，其中． ， 当时，， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴，即实数a的取值范围是． 14．(1) (2) 【分析】（1）利用重心的性质及平面向量的线性运算得，再由平面向量数量积运算律计算即可； （2）即，根据上问及中线性质结合平面向量数量积及模长求夹角即可. 【详解】（1）由题可知为的重心，则， 所以， 所以. （2）因为为的中点，所以. 又， 所以 . 又， 所以. 又与，的夹角相等， 所以，所以的余弦值为. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过计算求得，由此判断出三点共线. （2）根据列方程，由此求得的值. 【详解】（1）∵、，∴， 又∵，，即， 又∵、有公共点，∴、、三点共线； （2）， 又，若、、三点共线，则， 则存在实数使，∴，∴、. 16．(1) (2) 【分析】(1)用平面向量的线性运算整理可得：，，代入已知向量即可得到. (2)用平面向量的线性运算整理可得：，结合题干条件，可得到等式，解等式即可. 【详解】（1）， ； （2）因为 . 即， 因为与不共线，从而，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$