第九章 解三角形 单元检测卷-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

第九章 解三角形 单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在中，若，，则的周长的最大值为 A．9 B．6 C． D． 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则b的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．已知中，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．已知为的三个内角的对边，向量，若，则内角A的大小为（    ） A． B． C． D． 6．在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则 A． B． C．2 D． 二、多选题 7．在中，角的对边分别为，若，则角可为（    ） A． B． C． D． 8．的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．角A的最大值为 D．面积的最小值为 三、填空题 9．如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为 . 10．对于，有如下命题： 若，则一定为等腰三角形． 若，则一定为等腰三角形． 若，则一定为钝角三角形． 若，则一定为锐角三角形． 则其中正确命题的序号是 把所有正确的命题序号都填上 11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的周长为 ． 12．已知a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且满足，，当角B最大时的面积为 . 四、解答题 13．如图，在中，，，.    (1)求的长度； (2)在边上取一点，使，求的面积. 14．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若，，求b的值． 15．在锐角三角形中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求； （2）求的取值范围. 16．已知在中，角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A C C BC ABC 1．C 【分析】利用正弦定理将三角形的周长表示成关于的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 【详解】根据正弦定理，， 那么，， 所以周长等于 ， ，所以当时，的周长的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的范围. 2．A 【分析】利用正弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得. 【详解】依题意，， ， ， 由正弦定理得， 由余弦定理得，或（舍去）. 故选：A 3．B 【分析】先根据余弦定理得到从而得到，再根据得到，因此或，根据勾股定理可判断三角形的形状. 【详解】因为，所以， 而，故. 又，所以， 所以即，故或. 若，则，故，故为直角三角形； 若，则，故，故为直角三角形； 综上，故选B. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件. 而三角形面积的计算有两种基本的方法： （1）底和高乘积的一半； （2）； 解题中注意合理选择. 4．A 【分析】由条件可得，然后由余弦定理求出，然后可算出面积. 【详解】因为，所以，因为，所以 由余弦定理可得 即，解得 所以的面积为 故选：A 5．C 【分析】先根据向量平行坐标表示得，再根据正弦定理化角，最后根据两角和正弦公式以及内角关系化简得结果. 【详解】因为，所以， 所以由正弦定理得． 因为内角，所以，所以． 因为内角，所以内角． 故选：C 【点睛】本题考查向量平行坐标表示、正弦定理、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．C 【分析】先利用余弦定理化简得a=,再利用余弦定理化简得A=,再代入即得解. 【详解】把余弦定理代入得a=， 由得. 所以. 故选C 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 7．BC 【分析】利用余弦定理化简可得；分别验证各个选项中的的取值，根据可确定正确选项. 【详解】由余弦定理得：， 又，，整理可得：； 对于A，，则，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，，则，D错误. 故选：BC. 8．ABC 【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可. 【详解】由，故A正确； 由余弦定理结合A项可得，故B正确； 由上结合基本不等式及余弦定理有 故，而，单调递减，所以由， 当且仅当时取得最大值，故C正确； 由上可得，又，所以，故D错误. 故选：ABC 9． 【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解. 【详解】在直角中，可得，所以， 因为中，， 所以， 由正弦定理，可得， 在直角中，因为，可得. 故答案为：300m 10．，， 【分析】三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定 【详解】或，为等腰或直角三角形 正确； 由可得 由正弦定理可得 再由余弦定理可得，为钝角，命题正确 全为锐角，命题正确 故其中正确命题的序号是，， 【点睛】本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简 11． 【分析】用余弦定理求得后可得周长． 【详解】由余弦定理得，所以， ，则， 三角形周长为． 故答案为：． 12． 【分析】已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出的最小值，即可求出边长，进而求得三角形的面积. 【详解】已知等式利用正弦定理化简得：, 由余弦定理， 可知 当角B最大时，则最小，由基本不等式可得: ， 当且仅当，即时，取等号. 代入可得：， 因为，所以， 在等腰中，求得底边上的高为,. 故答案为： 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题. 13．(1) (2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求解即可； （2）设，，利用余弦定理表示出和，再结合即可解出，进而利用面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即， 所以. （2）设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 即，解得， 所以，，， 所以， 所以的面积为. 14．（1）；（2）． 【分析】（1）要求角，已知条件是边角混合的，因此可用正弦定理化边为角，即得，交叉相乘后利用两角和的正弦公式化简可得； （2）由（1）的结论选择面积公式可求得，再由余弦定理可求得． 【详解】（1）由正弦定理可得，，， 代入已知得， 即， 即， 故，即 ∵，∴， 又，∴. （2）因为，∴ac=1 ∴＝3 ∴． 15．（1）（2） 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式和诱导公式可整理求得，进而得到角； （2）利用正弦定理边化角和两角和差正弦公式可将整理为，根据角的范围可求得的范围，进而得到的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理得：                （2）由正弦定理得： 为锐角三角形且             ，即 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边角互化、两角和差公式和诱导公式化简、正切函数值域问题的求解等知识；求解边长比例关系问题的关键是能够利用正弦定理将问题转化为三角函数值域问题的求解；易错点是忽略角所处的范围，造成三角函数值域求解错误. 16．(1)， (2) 【分析】（1）根据三角形的三角关系得到，由正弦定理得到，即，再由余弦定理得到结果； （2）根据余弦定理和均值不等式得到，再由面积公式得到最值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以由，得， 所以由正弦定理可得， 即 所以由余弦定理得， 又，所以. （2）因为，， 所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即. 所以. 故的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$