第二章 平面解析几何单元检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

第二章 平面解析几何单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 2．在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线的距离为1，则满足条件的点A的个数为（    ） A．1 B．4 C．2 D．3 3．若直线的倾斜角为，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 4．设第一象限的点为抛物线上一点，F为焦点，若，则（    ） A． B．4 C． D．32 5．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一动点，关于直线的对称点为关于直线的对称点为N，则当|MN|最大时，为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 7．已知过抛物线焦点的直线交抛物线C于P､Q两点，交圆于M，N两点，其中P，M位于第一象限.则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知方程：，则以下说法正确的是（    ） A．若，则方程表示的曲线是椭圆，且焦点在x轴上 B．若，则方程表示的曲线是圆，其半径为 C．若，则方程表示的曲线是双曲线，其渐近线方程为： D．若，则方程表示的曲线是两条直线． 三、填空题 9．已知椭圆的对称中心为原点，为椭圆上一动点，为椭圆的左焦点，则线段的中点的轨迹是 . 10．设双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为 ；双曲线的离心率为 . 11．已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点，且与抛物线交于、两点，则的面积为 ． 12．已知点，分别是椭圆长轴的左、右端点，点在椭圆上，直线的斜率为，设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，椭圆上的点到点的距离的最小值为 ． 四、解答题 13．圆，动圆. (1)求证：圆、圆相交于两个定点； (2)设点是圆上的点，过点作圆的一条切线，切点为，过点作圆的一条切线，切点为，问：是否存在点，使无穷多个圆，满足？如果存在，求出所有这样的点；如果不存在，说明理由. 14．已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值． 15．设直线的方程为． (1)求证：不论为何值，直线一定经过第一象限； (2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积为12时，求的周长． 16．已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点. (1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程. (2)求面积的最小值. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A A C C AB BC 1．B 【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出、的关系，然后求解离心率即可． 【详解】双曲线的一条渐近线的方程是， 可得，所以， 解得． 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法：（1）公式法（求出代入离心率的公式即得解）；（2）方程法（化简已知得到关于离心率的方程，解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解. 2．D 【分析】到原点的距离为2的点满足，到直线的距离为1是两条直线，根据直线的圆的位置关系得到答案. 【详解】到原点的距离为2的点满足， 到直线的距离为1满足，即或. 圆心到直线的距离为，圆与直线有2个交点； 圆心到直线的距离为，圆与直线有1个交点； 综上所述：共有3个点满足条件. 故选：D. 3．A 【分析】由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值． 【详解】解：直线的倾斜角为，则斜率为. 直线，整理为：，可知斜率为. 所以. 故选：A. 4．A 【分析】由抛物线的定义或焦半径公式求得，代入抛物线方程可得． 【详解】，则，． 由题意，，所以，又，所以． 故选：A． 5．C 【分析】根据两直线的位置关系，设直线，再代入点，求直线的方程. 【详解】直线与直线垂直，设直线的方程为， 直线经过点，，即. 直线的方程为. 故选：C 6．C 【分析】由题意画出图形，得到当，，共线时，最大，由此可知，然后利用余弦定理求得．再代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：由，得，，则， ， 连接，， ， 当，，共线时，最大， 此时，， 由， 得， 在△中，由余弦定理可得： ， ， 即． ． 故选：． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，属于中档题． 7．AB 【分析】设的方程为，设，，将直线方程和抛物线方程联立，列出韦达定理，计算出的值，然后利用基本不等式求得的取值范围，判定即可. 【详解】设，， 设的方程为，. ，，则， ， 则， 故选：AB 【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 8．BC 【分析】根据的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可. 【详解】对于A，若，则， 则即为，故表示焦点在y轴上的椭圆，A错误； 对于B，若，则，所以即为，故曲线是圆，其半径为，B正确； 对于C，若， 则不妨设，，则即为， 曲线此时表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为， 当，，同理可知渐近线方程也为，C正确； 对于D，若，则，当时，方程为表示两条直线； 当时，方程为，不表示任何图形，D错误. 故选：BC 9．椭圆 【分析】设椭圆的右焦点为，得到，根据分别为的中点，得到，利用椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图所示，设椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得， 因为分别为的中点，可得， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是椭圆． 故答案为：椭圆 10． 【分析】根据已知条件及双曲线的渐近线，再利用离心率的公式即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. 由，得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：；. 11． 【分析】由已知条件得出直线的方程为，与抛物线的方程联立，求出交点的横坐标，可得出交点的纵坐标之差的绝对值，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可得抛物线焦点，直线的方程为， 代入并化简得，即，解得或， 设点、，则，， 因此，. 故答案为：． 12． 【解析】求出直线的方程，设，则由点到直线的距离公式可得，解得，再由椭圆的有界性即可得出最值. 【详解】解：由题可知，则直线的方程是． 设点的坐标是，则到直线的距离是， 于是，又，解得，所以点． 设椭圆上的点到点的距离为， 有， 由于．所以当时，取最小值． 故答案为：． 13．(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据圆的方程可求得圆经过定点，再判断定点在上即可； （2）设，根据可得，与联立方程可判断. 【详解】（1）解（1）整理圆方程   由，有或，即圆过定点与 ， 由知在圆上，同理也在圆上， 故圆、圆相交于定点与 ； （2）设，则 由有   · 即， 要存在无穷多个圆满足， 只需即由方程无解 ， 故不存在这样的点P，使无穷多个圆满足. 14．(1) (2)证明见解析，定长. 【分析】（1）根据条件列方程，求出M点的轨迹方程； （2）根据题意，设定N点的参数，运用点斜式直线方程，联立椭圆与直线方程，运用韦达定理和弦长公式以及第一问的条件即可求解. 【详解】（1）   设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：； （2）     由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：， 则，所以直线l的方程为：， 联立方程： ，得：，   设，则， ， ， 由条件可知：，， 的周长，即定值为10； 综上，曲线C的方向为，的周长. 【点睛】本题的第一问是圆锥曲线的第二定义，难点在第二问的计算上，注意到出现的数字都是平方数，不必将所有的数乘起来，这样便于计算和思考. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据定点直线系结论列方程组求解可得定点，然后可证； （2）求出，然后根据面积求出a，再由两点间距离公式可解. 【详解】（1）证明：将整理成， 令，解得，， 所以定点为， 因为点在第一象限，所以不论为何值，直线必过第一象限. （2）解：由题意知，，由， 当时，，当时，， 由，得， 所以面积，解得， 此时，，， 所以的周长为， 故当面积为12时，的周长为． 16．(1) (2)4 【分析】（1）设，，过点直线方程设为，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，结合韦达定理，求解点轨迹方程． （2）根据点斜式可得的坐标，即可根据三角形面积公式得表达式，结合韦达定理，以及二次函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）设,，过点直线方程设为． 由，解得． 相切． 化简得：． ，    点轨迹方程为． （2）由（1）知：直线的斜率满足， 且，， 在直线中，令，则， 因此, 故, 所以 , 由于， 当且仅当时，取等号，故面积的最小值为4. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用二次函数的性质求解最值． 学科网（北京）股份有限公司 $$