精品解析：河北省衡水市饶阳县六校联考2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024－2025学年河北省衡水市饶阳县六校联考九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共16小题） 1. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A. B. C. D. 2. 对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 已知，，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 若是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 13. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 14. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 15. 描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A. 4.5 B. C. 7 D. 二．填空题（共3小题） 17. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 18. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 19. 在中，，则的值是______． 三．解答题（共7小题） 20. 解下列方程： （1）﹔ （2） 21. 某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 22. 近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 23. 如图，是的中线，E是上一点，且，联结并延长交于点F，过点A作交的延长线于点G （1）求的值 （2）求的值 24. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 25. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 26. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年河北省衡水市饶阳县六校联考九年级（上）期中数学试卷 一．选择题（共16小题） 1. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程． 【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个）， 由题意得． 故选：C 2. 对于一元二次方程，下列说法：①若是方程的一个根，则；②若且，则，；③若方程存在两个根，，则方程的两个根为，；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中一定正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的解是指使得方程两边相等的未知数的值，理解并灵活的运用一元二次方程的解的概念是解题的关键；根据一元二次方程的解的定义逐项分析即可． 【详解】解：①当时，， 故本选项符合题意； ②且， 时，，当时，， 方程的两个根为， ，， 故本选项符合题意； ③方程存在两个根，， 或4， 方程的两个根为，， 故本选项符合题意； ④ 是方程的一个根， ，即， 或， 故本选项不符合题意； 综上所述，一定正确的是①②③， 故选：C． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， 故选：C． 4. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则，再根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， ∵周长为8， ∴的周长为20， 故选C． 6. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据题意得出是解题的关键． 【详解】解：∵各条平行线间距离相等， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：D． 7. 如图，与位似，点为位似中心，且点在边上．若，，则的长为（   ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了位似图形性质，相似三角形的判定和性质．根据位似图形性质，相似三角形的判定证明，再根据相似三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解： 与位似，点为位似中心， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 已知，，那么下列等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 9. 如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理可求出的三边长，再证明得到，据此根据正切的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数．根据题意利用锐角三角函数即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 11. 若是锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及、、的正弦值可求解． 【详解】解：是锐角，且， ， 故选：A． 12. 一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出AE的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形． 【详解】解：如图，过A作于E， 则． ∵在中，， ∴ ∵在中， ∴ ∴ 即旗杆的高度为． 故选：C． 13. 验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度． A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 14. 若点都在反比例函数函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 15. 描点法是画未知函数图象的常用方法．请判断函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的平移可进行求解． 【详解】解：函数可看作是由反比例函数向左平移一个单位长度所得到，所以只有D选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象的平移，熟练掌握函数图象的平移是解题的关键． 16. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴于点M，且，则k的值为（　　） A. 4.5 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等．连接，根据反比例函数k的几何意义可得出， ，再结合，即可求出，最后根据反比例函数的图象在第四象限，即可求出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴， ∴． 故选B． 二．填空题（共3小题） 17. 已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，将代入一元二次方程得出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查线段成比例的问题，根据线段成比例，则可以列出比例式，代入数值求解即可得到答案； 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，解得：， 故答案为：2． 19. 在中，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、求锐角三角函数等知识．用勾股定理求出，再根据余弦的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： 三．解答题（共7小题） 20. 解下列方程： （1）﹔ （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）移项，整理后，提取公因式x，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，整理后，求出的值，再代入公式求出即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴， ∴， 21. 某单位组织职工到“万绿湖”观光旅游，下面是领队与旅行社就收费标准的一段对话： 领队：组团去万绿湖旅行每人收费是多少？ 旅行社：如果人数不超过人，人均费用为元． 领队：超过人呢？ 旅行社：如果超过人，每增加1人，人均费用降低2元，但人均旅行费用不得低于元． 该单位组团旅游结束后，共支付元，则该单位参加旅游的共有多少人？ 【答案】30人 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． 求出人数为人时的总费用，由该值小于元，可得出该单位参加旅游的人数超过人，设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为，利用总费用＝人均费用×人数，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合人均旅行费用不得低于元，即可确定结论． 【详解】解：∵（元），元， ∴该单位参加旅游的人数超过人． 设该单位参加旅游的共有x人，则人均旅游费用为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 答：该单位参加旅游的共有人． 22. 近期黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 23. 如图，是的中线，E是上一点，且，联结并延长交于点F，过点A作交的延长线于点G （1）求的值 （2）求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． （1）先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据三角形的中线可得，由此求解即可得； （2）设，则，，证出，根据相似三角形的性质可得，可求出，由此求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 所以的值为． 【小问2详解】 解：由（1）已证：，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）已得：， ∴， ∴， ∴， 所以的值为． 24. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）2米 （2） 依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 【解析】 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； 【小问2详解】 略 25. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【小问1详解】 解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得四边形是矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）． （1）求出这个函数的解析式； （2）当气球体积为时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，气球的体积应不小于______． 【答案】（1）函数的解析式为 （2）气球内的气压是120千帕 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确建立函数关系式并会运用函数关系式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）将代入（1）中的函数式求p即可； （3）将代入（1）中的函数式求V即可解答． 【小问1详解】 解：设这个函数的解析式，则有：， 解得：， ∴这个函数的解析式； 【小问2详解】 解：当时，千帕， 答：气球内的气压是120千帕． 【小问3详解】 解：根据题意，当时，为安全范围， ∴， 解得，， 故为了安全起见，气球的体积应不小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $