3.3.2.2抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质（第2课时） 第3章 圆锥曲线的方程 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 1、抛物线的简单几何性质 课前回顾 2、抛物线的焦点弦 1.过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论: (1)|AB|=x1+x2+p; (2)当AB垂直于对称轴时,焦点弦最短; (5)以AB为直径的圆必与准线相切,以AF为直径的圆必与y轴相切. 导入 思考：若直线为任意的，你能准确判断它与抛物线的位置关系吗 1、直线与抛物线的位置关系（以焦点在x的正半轴为例） 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立,整 理成关于的方程 . （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对称轴 _____________. 一个 平行或重合 探究新知 4 2、 弦长公式 若直线（斜率为且）与抛物线交于, 两 点,则____________________________ _ __________________________. （1）若直线过抛物线的焦点,则___________,___, _____. （2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____. （3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _____. 探究新知 5 法一:求交点(联立方程组求交点坐标,用两点间的距离公式) 法二:弦长公式(适用于斜率为k的直线和曲线C相交所得弦长) 法四:圆的弦长 法三：抛物线的弦长 总结 (1)只有1个公共点： (2)有2个公共点： (3)无公共点： 先考虑二次项系数是否为0，再考虑△ 例题巩固 (法1) (法2) 例题巩固 (法3) 例题巩固 例3 已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程. 解 (方法1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y. 当直线AB的斜率存在时,kAB=. 易知 ①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=2(x1-x2), 所以2y·=2,即2y·=2, 即=x-. 当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时, AB的中点坐标为(2,0),适合上式. 故所求轨迹方程为=x-. 例题巩固 例4、经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴. 因为焦点的坐标是，当时， 直线的方程为. ④ 联立①④，消去，可得， 即， 可得点的纵坐标为，与点的纵坐标相等，于是平行于轴. 当时，易知结论成立. 所以，直线平行于抛物线的对称轴. O l F A x y B D 例题巩固 11 例5、如图，已知定点，轴于点是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程. 解：设点，，其中，则点的坐标为. 由题意，直线的方程为.① 因为点在上，将点的坐标代入①，得② 所以点的横坐标满足②. 直线的方程为，③ 因为点在上，所以点的坐标满足③. 将②代入③，消去，得即点的轨迹方程. O M B C D E P 例题巩固 12 1.过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解 点(-1,0)在抛物线y2=x的外部, 故过点(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条, 其中两条为切线,一条为x轴. C 课堂检测 2.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为(　　) A.2 B.2 C.2 D.2 解 设A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2. 由得x2-4x+1=0,满足Δ>0, ∴x1+x2=4,x1x2=1. ∴|AB|= ==2. B 课堂检测 3、设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点, 则直线l的斜率的取值范围是(　　) A. B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] 解 由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意. 故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2). 由消去y,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, 当k=0时显然符合题意;当k≠0时,需Δ≥0, 即16(k2-2)2-4k2·4k2≥0,解之得-1≤k<0或0<k≤1. 故直线l斜率的取值范围是[-1,1]. C 课堂检测 4.直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_____. 48 所以|AP|＝10，|BQ|＝2或|BQ|＝10，|AP|＝2，所以|PQ|＝8， 所以梯形APQB的面积S＝×8＝48. 课堂检测 ⑴只有一个公共点 ⑵有两个公共点 ⑶没有公共点 5、 课堂检测 17 6、已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分, 求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解 设直线上任意一点坐标为(x,y), 弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2). ∵P1,P2在抛物线上,∴=6x1,=6x2. 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2,∴k==3. ∴直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0. 联立y2=6x与3x-y-11=0, 消去x,得y2-2y-22=0, ∴y1+y2=2,y1y2=-22, ∴|P1P2|= . 课堂检测 7、如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 关键：转化为二次函数的最值. 课堂检测 关键：点P到AB的距离的最值转化为二次函数的最值. 7、如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 课堂检测 A(5,0)倾斜角为45度恒与OA相交 关键：(数形结合法)点P到AB的距离的最值转化为两平行线间距离的最值. 7、如图,已知直线l:y=2x－4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积. 课堂检测 8、(2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 课堂检测 8、(2018新课标II)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点，|AB|=8. (1)求直线l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144. 课堂检测 直线与抛物线位置关系的判断方法： 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立,整 理成关于的方程 . （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对称轴 _____________. 一个 平行或重合 小结 24 弦 长 公 式 若直线（斜率为且）与抛物线交于, 两点,则 ____________________________ _ __________________________. （1）若直线过抛物线的焦点,则___________,___, _____. （2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____. （3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _____. 小结 25 (3)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值,即x1x2=,y1y2=-p2; (4); 解　由消去y得x2－10x＋9＝0， 得x＝1或9，即或 你认为是消 呢,还是消 呢? 消去 可得 (Ⅰ) 已知抛物线的方程为 ,直线 过定点 ,斜率为 , 为何值时,直线 与抛物线 : ⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点? 解:依题意直线 的方程为 联立 (法1)由解得∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3. 设点P的坐标为(t2,2t), 点P(t2,2t)到直线AB的距离d=. ∵点P(t2,2t)在抛物线AOB这段曲线上,∴-2<2t<4,得-<t<2. 当t∈时,∈[),∴∈(0,], ∴当t=时,dmax=. 此时P,S△PAB的最大值为|AB|·dmax=×3. (法2)由解得∴A(4,4),B(1,-2),∴|AB|=3. 设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离, 则有d=|(y0-1)2-9|. ∵-2<y0<4,∴(y0-1)2-9<0，∴d=[9-(y0-1)2]. 当y0=1时,dmax=,Smax=×3. 此时P,△PAB的面积取得最大值,最大面积为. EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn (法3)设y=2x+m是抛物线y2=4x的切线方程. 由消去x,得y2-2y+2m=0. ∵Δ=4－8m=0,∴m=，此时方程为y2-2y+1=0,解得y=1,x=,∴P. 此时点P到直线y=2x-4的距离d最大(在抛物线AOB这段曲线上). ∴dmax=,∴S△PAB的最大值为×3. (2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2), ∴AB的垂直平分线方程为y－2=﹣(x－3),即y=﹣x+5. 设所求圆的圆心为M(x0,y0),则 解得 $$