辽宁省沈阳市东北育才学校双语校区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

东北育才学校双语校区2024-2025学年度上学期 高二年级数学学科期中考试试题 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 考试时间：120分钟 分数：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，，若，，共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 1或0 2. 若圆与圆相切，则实数（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过焦点的直线与抛物线交于两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，点在椭圆运动，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，为抛物线的焦点，直线与交于点（点在第一象限），若，则与面积之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 9. 如图，已知正方体的边长为2,、、、分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 二面角的大小为 D. 点到平面的距离为2 10. 抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，是线段的中点，过作准线的垂线，垂足为，则（ ） A. 若，则直线的斜率为或 B. 若，则 C. 若和不平行，则 D. 若，则的最大值为 11. 已知，是双曲线的左、右焦点，且，点P是双曲线上位于第一象限内的动点，的平分线交x轴于点M，过点作垂直于PM于点E．则下列说法正确的是（ ） A. 若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为2 B. 当时，面积为 C. 当时，点M的坐标为 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知抛物线上一点到焦点的距离比它到直线的距离小，则__________. 13. 如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，则的面积是______. 14. 已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆过点，，且圆心在上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度． 16. 如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC ，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2. （1）求证：BF∥平面 ADE； （2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值． 17. 已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. （1）求C的方程； （2）若，求直线AB的方程； （3）若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，. （1）求证：直线平面； （2）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离. 19. 阅读材料：“到角公式”是解析几何中的一个术语，用于解决两直线对称的问题.其内容为：若将直线绕与的交点逆时针方向旋转到与直线第一次重合时所转的角为，则称为到的角，当直线与不垂直且斜率都存在时，（其中分别为直线和的斜率）.结合阅读材料，回答下述问题： 已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上一点，，四边形的面积为为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）求的角平分线所在的直线的方程； （3）过点的且斜率存在的直线分别与椭圆交于点（均异于点），若点到直线的距离相等，证明：直线过定点. 东北育才学校双语校区2024-2025学年度上学期 高二年级数学学科期中考试试题 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 考试时间：120分钟 分数：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)．设CF＝h(h>0)，则F(1，2，h)． 依题意，＝(1，0，0)是平面ADE的法向量，又＝(0，2，h)， 可得，又因为直线 BF⊄ 平面 ADE ， 所以 BF∥平面 ADE . （2）. 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）12 【18题答案】 【答案】（1） 由菱形的性质可知， 因为平面 所以，且， 所以直线平面； （2）或者. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明: 设直线的斜率分别为，可得直线， 若点到直线的距离相等，则，化简得， 由椭圆方程与方程联立可得， 所以，可得，所以， 所以，同理可得， 因为，所以， 所以， 可得直线的方程为， 化简得， 所以， 由，解得， 可得直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $