3.3.2.1抛物线的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.2抛物线的简单几何性质（第1课时） 第3章 圆锥曲线的方程 其中定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 2、抛物线的标准方程 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. ┑ l F M d H 导入 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 轴的 正半轴上 轴的 负半轴上 (- - - - 导入 3 思考 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 1.范围： 2.对称性： 3.顶点： 4.离心率： 研究方法：直观猜想 方程验证 探究新知 4 (1)范围： (2)对称性：关于x轴对称 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. (3)顶点(抛物线与轴的交点)： (4)离心率： p对抛物线的影响：p越大，开口越大 1、抛物线的简单几何性质 探究新知 抛物线的焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段. 焦半径公式： （5）焦半径 思考: 如图是抛物线上任意一点，焦点为，如何求焦半径？ 探究新知 6 过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦. 焦点弦公式： (6)、焦点弦 思考: 如图直线过焦点，点A 是两个交点，如何求焦点弦？ 探究新知 A B y2=2px x l F y O 追问:如图若焦点弦垂直于对称轴时，弦长是多少？ |AB|=2p 2p 越大，抛物线张口越大 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确的画出抛物线的草图. 通过焦点且垂直对称轴的弦. （7）、抛物线的通径： 长度为2p 探究新知 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) 例1（1） 已知抛物线，求出变量 的范围及该抛物线的顶点、焦点、 准线、对称轴. 解：由，得，变量的范围为， 该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为，，直线， 轴. 例题巩固 （2）抛物线的顶点在原点，对称轴与椭圆 的短轴所在的直线重 合，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程. 解： 椭圆的方程可化为，其短轴在轴上， 抛物线的对称轴为 轴， 设抛物线的方程为或，其中 抛物线的焦点到顶点的距离为3，即，， 抛物线的标准方程为 或，其准线方程为或 . 10 例2、(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是 ( ) A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 解　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形， 所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直， 从而直线OA与x轴的夹角为45°. 不妨设A，B两点的坐标分别为(2p，2p)和(2p，－2p). 所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. B 例题巩固 (2)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝ ，求抛物线方程. 解　由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上. 故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称， ∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2， ∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4， 得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程， 得a＝±3. ∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x. 例题巩固 例3、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 法2:设而不求,运用弦长公式求弦长 法1:直接求两点坐标,用两点间的距离公式求弦长 法3:设而不求,运用焦点弦公式求弦长 思路分析： 例题巩固 13 例3、 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 例题巩固 例3、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解：(法2)设 直线的为抛物线方程，化简得 ∴ +=6, =1 =8. 例题巩固 例3、斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，求线段的长. 解: (法3)由题可知，焦点的坐标为，准线方程为. 如图，设 由抛物线的焦点弦公式得 . 直线的方程为 ① 将①代入方程，化简得 所以=6，. 所以，线段AB的长是8. 如果直线不经过焦点，还等于吗？ 例题巩固 16 例4、过抛物线的焦点任作一条直线,交这抛物线于两点,求证:以为直径的圆和这抛物线的准线相切． 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 例题巩固 如图.设的中点为,过分别向准线引垂线,垂足为, 则 ∴ 所以是以为直径的圆的半径,且, 因而圆和准线相切． 例4、过抛物线的焦点任作一条直线,交这抛物线于两点,求证:以为直径的圆和这抛物线的准线相切． 证明 例题巩固 例5、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求证: (1) (2) (3)求证:是钝角三角形 (1) ①当轴时, 所以. ②当轴不垂直时,设. ∵焦点. ∴直线的方程为:. 代入化简得: ∴ 解 例题巩固 例5、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求证: (1) (2) (3)求证:是钝角三角形 (2)因为 所以 因为和异号, 所以. 解 例题巩固 例5、直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,求证: (1) (2) (3)求证:是钝角三角形 (3)因为 所以 . 所以是钝角三角形. 解 例题巩固 例5、过抛物线的焦点任作一条直线,如果直线(倾斜角为)交这抛物线于两点. (1)求弦长;(2)当时,求弦长;(3)求证:. (1) 在中, 而, 得: , 同理可得: 则: . (即通径) . . 解 例题巩固 (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 2、过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则有如下结论： 总结 23 1.已知点P(6,y)在抛物线y2=2px(p>0)上,若点P到抛物线焦点F的距离等于8, 则焦点F到抛物线准线的距离等于(　　) A.2 B.1 C.4 D.8 C 解 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-, 因为P(6,y)为抛物线上的点, 所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离, 所以6+=8,所以p=4, 所以焦点F到抛物线准线的距离等于4. 课堂检测 2、过抛物线y2 =4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=_____ 2 8 4、过抛物线y2=4x的焦点，作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|=______. 8 3、抛物线y2 =4x的弦AB垂直x轴，若|AB|= ，则焦点到AB的距离为_____. 5、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A1，B1，则∠A1FB1= . 90° 课堂检测 课堂检测 6、 课堂检测 7、抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 课堂检测 解　如图，依题意可设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)， 则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋， 即.① 又A(，)，B(，)是抛物线和直线的交点，消去y， 得∵，∴＋＝， 将其代入①得，∴所求抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝(>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝-4x. ∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝-4x. 课堂检测 8、已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于、两点,且. (1)求该抛物线的方程; (2)为坐标原点,为抛物线上一点,若,求的值. (1)直线的方程是 与联立,从而有 所以. 由抛物线定义得: 所以, 所以抛物线方程为 解 课堂检测 (2)由,化简得, 综上:或. 从而, , , , 从而,. 设 又因为,即 即解得或. 课堂检测 小结： 方程 图形 范围 对称性 顶点 焦半径 焦点弦 通径 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py l F y x O l F y x O l F y x O x≥0, y∈R x≤0, y∈R x∈R, y≥0 x∈R, y≤0 l F y x O 关于x轴对称 关于y轴对称 (0,0) (7) 以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F. (6) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切； 2、过抛物线y2=2px的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线AB的倾斜角为α，则有如下结论： 小结 33 由方程组得或 2 训练2：如图，斜率为的直线l经过抛物线y2＝2px的焦点F(1，0)，且与抛物线相交于A，B两点. (1)求该抛物线的标准方程和准线方程； (2)求线段AB的长. 解　(1)由焦点F(1，0)，得＝1，解得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).直线l的方程为y＝(x－1)， 与抛物线方程联立，得消去y， 整理得4x2－17x＋4＝0. 由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝. 所以线段AB的长为. $$