精品解析：上海市行知中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2024学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题(本题满分54分， 共有12题， 1-6每题4分， 7-12每题5分) 1. 直线的倾斜角的大小为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线的斜率得到倾斜角. 【详解】直线的斜率不存在， 所以倾斜角为， 故答案为： 2. 过点且平行于向量的直线的点法式方程是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的一个法向量，再求出点法式方程. 【详解】依题意，直线的方向向量为，则该直线的法向量为， 所以该直线的点法式方程是. 故答案为： 3. 已知圆：和圆：外切，则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由圆：和圆：可知， 两圆的圆心坐标分别为，，两圆的半径分别为，， 因为两圆相外切，可得，解得. 故答案为：. 4. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】所得的几何体是底面半径为，高为的圆柱体，根据圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】解：将边长为1的正方形绕其一边所在直线旋转一周， 所得几何体是底面半径为，高为的圆柱体， 其体积为. 故答案为: 5. 若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为________________ 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的定义可知本题点的轨迹为椭圆，由定义即可得到的值，由此写出椭圆方程. 【详解】设，则，满足椭圆定义， ∴，∴，∴， ∵在轴上，所以点P的轨迹方程为. 故答案为：. 6. 若直线与互相垂直，则实数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案. 【详解】两直线与互相垂直. 所以，解得 故答案为： 【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题. 7. 已知向量，，，且、、三点共线，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值. 【详解】； 因为A、B、C三点共线，所以 ； 于是， 解得 故答案为： 8. 平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为________________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 9. 已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】可设直线的倾斜角为，利用旋转之后的直线方程可得交点坐标以及斜率，再由点斜式方程可求得直线的方程. 【详解】根据题意可设直线的倾斜角为， 由易知直线： 的斜率为1，因此可得， 由可得直线：的斜率为，可得； 即，解得； 因此可知直线的斜率为， 又点为与的交点，联立，解得，即； 所以直线的方程为，即. 故答案为： 10. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 _______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，分别作出正四棱锥和正三棱锥的高，设棱锥的棱长为，求出三个高的值，再求比值即可得到结果. 【详解】如图： 正四棱锥和正三棱锥组成了一个三棱柱，设正三棱锥和正四棱锥的棱长均为， 连接相交于点，在正四棱锥中平面，∴， 取中点，连接，取的三等分点，连接，在正三棱锥中平面，∴， 在三棱柱中，∵平面，平面，平面，∴， 在正方形中，，∴， 在正三角形中，，则，则， ∴. 故答案为：. 11. 点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则_____________. 【答案】8 【解析】 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 12. 如图所示，（直径为的球放地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出球的一个截面，圆分别与、相切于点、，求出、的值，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】如图，是球的一个截面，圆分别与、相切于点、， 因为，球的半径为，所以，， 所以， 所以， 因为是椭圆的长轴长，所以，所以， 根据椭圆在锥体中截面与球相切的切点为椭圆的焦点知， 球与相切的切点为椭圆的一个焦点， 所以，所以， 所以离心率． 故答案为：. 二、选择题(本题满分18分， 共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分) 13. 已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】因为直线，满足，， 若“”则“”成立，故充分性成立； 若，则不一定平行，与可能平行或异面，故必要性不成立； 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：D 14. 设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解． 【详解】∵为椭圆上的任一点， ∴可设， ∴，其中， ∴由，得，即， ∵， ∴，即的取值范围是. 故选：B． 15. 设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】底面是矩形，侧棱和底面不一定垂直，①为假命题；棱长都相等，底面可能为菱形，②是假命题；当侧棱垂直于底面两条平行的边时不能得到侧棱和底面垂直，③是假命题；由对角线相等可得侧棱.和底面垂直，④是真命题. 【详解】①是假命题，底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体，不是长方体. ②是假命题，若底面是菱形，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体. ③是假命题，侧棱垂直于底面两条平行的边，则不能得到侧棱和底面垂直，不是直平行六面体. ④是真命题，对角线相等的平行四边形为矩形，故平行六面体中过相对侧棱的两个对角面都是矩形，从而侧棱垂直于底面的两条对角线，故垂直于底面，是直平行六面体. 故选：A． 16. 已知圆C:x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是 A. [，) B. [，) C. [，] D. [，] 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A在原点及在x轴极限远的特殊位置，求得PQ的取值范围． 【详解】当A在坐标原点时，sin∠POC= ∴由 可得cos∠POC= ∴sin∠POQ=sin2∠POC=2sin∠POC cos∠POC= 即∴sin∠PCQ= ∴cos∠PCQ= 此时 当点A在x轴上无限远时，PQ值接近直径 所以PQ的取值范围为[，) 所以选B 【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的综合应用，结合余弦定理求得最值，注意极限位置的用法，属于难题． 三、解答题(本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤) 17. 已知直线，直线和直线. （1）若直线与的距离为求实数的值； （2）曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1）或； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用平行线间的距离公式计算即可； （2）设P坐标，利用点到直线的距离公式计算即可. 【小问1详解】 将的方程化为:， 直线与的距离， 解之得或； 【小问2详解】 设，则P点到距离为， 则点到距离为， 则，即， 又因为，解之得：或； 所以满足条件的点P坐标为. 18. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝，BA＝BC＝2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点． （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）求直线PM与平面PBO所成角的大小． 【答案】（1） 由，有，从而有 且 又是边长等于的等边三角形 又，从而有 又，平面,平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得，从而，结合等边三角形的特点得，利用勾股定理得出，进而证得结论； （2）过点作交于点，可证得面，则是直线与平面所成的角，求出即可得出答案． 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 过点作交于点，连 由（1）知平面，平面,得 又，，平面，平面 则是直线与平面所成的角． 由，得，从而为线段的中点 所以直线与平面所成角的大小为． 19. 已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. （1）求圆M的标准方程； （2）若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆方程，代入已知点坐标到方程以及圆心的关系，解得参数，写出圆的方程； （2）讨论斜率是否存在：斜率不存在时直接得到直线方程，验证交点弦长满足题意；当斜率不存在时，设用点斜式设直线，求出圆心到直线距离，由垂径定理建立等式，求得斜率值，写出直线方程. 【小问1详解】 设圆M的方程为：， 由题意得，解得， 圆M的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知圆的圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离， 被圆截得的弦长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线， 由被圆截得的弦长为，可得，则， 解得，所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或. 20. 如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的表面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小； （3）一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 【答案】（1） （2）. （3） 【解析】 【分析】（1）求得再根据圆锥体积与表面积公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线线夹角公式求解即可； （3）将该圆锥的侧面夹在母线 的部分展开，再在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以，则 ， 所以圆锥的体积为 ，表面积为 . 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， 所以 设异面直线 与 所成角为 ， 则 所以异面直线 与所成角为 . 【小问3详解】 将该圆锥的侧面夹在母线的部分展开，如图连接， 因为， 所以中，由余弦定理可得 所以 . 21. 已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点. （1）若直线经过，求的周长； （2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义知所求周长，由此得到结果； （2）当直线斜率不存在时，易知；当直线斜率存在时，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由，利用平面向量数量积的坐标运算可构造方程求得，得到直线方程；综合两种情况可得结果； （3）当直线斜率不存在时，可得坐标，由此可确定的取值；当直线斜率存在时，由得，利用可得与的关系，借助的范围可得的范围，解不等式可求得的取值范围；综合两种情况可得结果. 【详解】（1）由椭圆定义知：， 则的周长. （2）当直线斜率不存在时，直线，设，， 则，符合题意； 当直线斜率存在时，设直线，，， 联立直线与椭圆得：， ，解得：， 则，， 又，， ， 即， ，解得：，满足， 直线的方程为：或； （3）①当直线斜率不存在时， 直线， 若，，则，，，此时； 若，，则，，，此时； ②当直线斜率存在时，设直线，，， 又，即，故， 由（2）知：，即 ， 又，故，，， 即，或； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中取值范围问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，利用函数值域的求解方法求得取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市行知中学2024学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题(本题满分54分， 共有12题， 1-6每题4分， 7-12每题5分) 1. 直线的倾斜角的大小为_________________. 2. 过点且平行于向量的直线的点法式方程是____________ 3. 已知圆：和圆：外切，则的值为______________. 4. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是______． 5. 若点到点与到点的距离之和为10，则点P的轨迹方程为________________ 6. 若直线与互相垂直，则实数的值为________． 7. 已知向量，，，且、、三点共线，则=______． 8. 平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为________________. 9. 已知P是直线上一点，直线绕点P逆时针旋转角得直线： ，若将直线绕点P继续逆时针旋转角得直线：， 则直线的方程为_____________. 10. 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为，则 _______________ 11. 点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则_____________. 12. 如图所示，（直径为的球放地面上，球上方有一点光源，则球在地面上的投影为以球与地面切点为一个焦点的椭圆，已知是椭圆的长轴，垂直于地面且与球相切，，则椭圆的离心率为______． 二、选择题(本题满分18分， 共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分) 13. 已知平面，直线，满足，，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 14. 设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 设有四个命题： ①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长都相等的直四棱柱是正方体； ③侧棱垂直于底面两条边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体. 其中真命题的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知圆C:x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的取值范围是 A. [，) B. [，) C. [，] D. [，] 三、解答题(本题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤) 17. 已知直线，直线和直线. （1）若直线与的距离为求实数的值； （2）曲线上是否存在点P，使得P到直线的距离与P到直线距离之比是，若存在，求出所有满足条件的P点坐标，若不存在，说明理由. 18. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AC＝，BA＝BC＝2，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点． （1）求证：PO⊥平面ABC； （2）求直线PM与平面PBO所成角的大小． 19. 已知圆M经过两点，且圆心M在直线上. （1）求圆M的标准方程； （2）若直线过点，且被圆M截得的弦长为，求直线的方程. 20. 如图所示，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴AO的截面是等边三角形SAB，点Q为半圆弧 的中点，点P为母线SA的中点. （1）求此圆锥的表面积； （2）求异面直线PQ与SO所成角的大小； （3）一只蚂蚁从Q点沿着圆锥的侧表面爬至P点，请计算该蚂蚁行程的最小值(精确到0.01m) 21. 已知椭圆：的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于不同的两点. （1）若直线经过，求的周长； （2）若以线段为直径的圆过点，求直线的方程； （3）若，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $