17.2勾股定理的逆定理 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是：（        ） A．1.5，2，2.5 B．2、3、4 C．6、8、10 D．25、24、7 2．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（       ） A．5，12，13 B．7，24，25 C．6，8，10 D．1，1， 3．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B＝∠C B．a＝2，b＝4，c＝2 C．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 D．（b+c）（b﹣c）＝a2 4．下列四组线段中，是勾股数的是（　　） A．4，5，6 B． C．2，3，4 D．7，24，25 5．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．5，7，9 C．6，8，10 D．7，8，9 6．下列数据中能作为直角三角形三边长的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、9、 7．如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（   ）    A．3 B．6 C．10 D．16 8．设为自然数，则在以下命题中，正确的命题为(　 　) A．可为直角三角形的三边长 B．当时，可为直角三角形的三边长 C．和可为直角三角形的三边长 D．以上三个命题都不对 二、填空题 9．如图，在周长为的中，，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动，点从点开始沿边以每秒的速度向点移动．若点同时出发，则经过后，的面积为 ． 10．如图，P是等边内的点，且，以为边在外作，连接．则下列结论：①是等边三角形；②是直角三角形；③，④．其中正确的是 （填写序号）． 11．如图，在中，于点D，，，，则是 三角形． 12．已知中，、、分别为、、的对边，则下列条件中：①， ， ，②：：：：，③：：：：，④，其中能判断是直角三角形的有 （请填序号） 13．如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    三、解答题 14．如图，已知，求的度数． 15．设a、b为实数，且． (1)求的值； (2)若满足上式的a、b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的面积． 16．阅读下列内容，设a， b， c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a， b， c三边长间的关系来判断这个三角形的形状； ①若则该三角形是直角三角形②若，则该三角形是钝角三角形；③；则该三角形是锐角三角形 例如一个三角形的三边长分别是4，5，6则最长边是6，，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题 （1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是 三角形 （2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形则x的值为 （3）若一个三角形的三条边长分别为，mn，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程. 17．一块四边形草地（如图所示四边形ABCD），AB＝米，BC＝5米，CD＝AD＝2米，∠D＝90°，求∠A的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C D C A C B 1．B 【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可. 【详解】A.因为1.52＋22=2.52,所以1.5，2，2.5能作为直角三角形三边长度,故不选A; B.因为22＋32≠42,所以2、3、4不能作为直角三角形三边长度,故选B;     C.因为62＋82=102,所以6、8、10能作为直角三角形三边长度,故不选C;     D.因为72＋242=252,所以25、24、7能作为直角三角形三边长度,故不选D. 故选B. 【点睛】此题考查的是直角三角形的三边关系,掌握勾股定理的逆定理是解决此题的关键. 2．D 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，故能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，故不能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 3．C 【分析】利用三角形的内角和定理判定A、C，利用勾股定理的逆定理判定B、D． 【详解】解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C， ∴∠C=90°，故选项A能判定△ABC是直角三角形； B、∵， ∴选项B能判定△ABC是直角三角形； C、设∠A、∠B、∠C的度数分别为5x°、12x°、13x°， ∵5x°+12x°=17x°， ∴∠C≠90°，故选项C不能判定△ABC是直角三角形； D、∵（b+c）（b-c）=b2-c2=a2， ∴a2+c2=b2， ∴∠B=90°，故选项D能判定△ABC是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，掌握“有一个角是直角或者两角的和等于第三个角的三角形是直角三角形”、“三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形”是解决本题的关键． 4．D 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此求解即可． 【详解】解：A、∵，∴4，5，6不是勾股数，故本选项不合题意； B、∵都不是整数，∴不是勾股数，故本选项不合题意； C、∵，∴2、3、4不是勾股数，故本选项不合题意； D、∵，∴7，24，25是勾股数，故本选项合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键． 5．C 【分析】根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 6．A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．先求出两小边的平方和，再求出长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A、，以、、为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； B、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，以、、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，以、9、为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答． 【详解】解：∵正方形的面积为13， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 8．B 【分析】只需利用勾股定理的逆定理验证是否存在两式的平方和是否等于第三式的平方． 【详解】解：A、因为，故此选项说法错误，不符合题意； B、因为当时，，故此选项说正确，符合题意； C、因为不妨令，则，，显然，故此选项说法错误，不符合题意； D、由B选项说法正确可知，D选项说法错误； 故选：B． 【点睛】：本题考查勾股定理的逆定理，掌握这个定理是解题的关键．判断三条线段能否围成直角三角形，一般是看较短两边的平方和是否等于最长边的平方：是就能围成，不是就不能围成．对于比较难算的选项可用特殊值验证，只要找到一个反例就可以推翻它． 9．18 【解析】略 10．①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，根据是等边三角形，得出，根据，得出，，，，求出，即可判断①；根据勾股定理的逆定理可得可判断②；若∠APC=90°，则为直角三角形，，再得出与题干矛盾的结论即可判断③；计算出，所以可判断④ 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形，所以①符合题意； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故②符合题意； ∵是等边三角形， ∴， ∴，所以④符合题意； 若，则为直角三角形， ∴， ∴，与题干信息矛盾，故③不符合题意； 所以符合题意的有①②④， 故答案为：①②④． 11．直角 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先利用勾股定理计算出，，然后利用勾股定理的逆定理可证明为直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形． 故答案为：直角． 12．①②④ 【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可，即可判断，根据三角形的内角和定理求出最大内角，即可判断． 【详解】解： ， ， ， ， ， ，即是直角三角形； ：：：：， ，即是直角三角形； ：：：：，， 最大角 ，即不是直角三角形； ， ， ， ， ， 解得：，即是直角三角形； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，直角三角形的性质等知识点，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 13． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 14．45° 【分析】根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，∠ACB=∠ABC=45°， ∵， ∴， ∴∠BCD=90°， ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 15．(1)2 (2)1或 【分析】（1）先根据绝对值和算术平方根的非负性求出的值，再代入计算即可得； （2）分两种情况：①当为等腰三角形的腰时，②当为等腰三角形的腰时，利用勾股定理和勾股定理的逆定理、三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， ． （2）解：①当为等腰三角形的腰时，则等腰三角形的三边长为， ， 此时这个等腰三角形是等腰直角三角形， 此时这个等腰三角形的面积为； ②如图，当为等腰三角形的腰时，图中，    过点作于点， ， ， 则此时这个等腰三角形的面积为， 综上，这个等腰三角形的面积为1或． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性、二次根式的运算、勾股定理和勾股定理的逆定理、等腰三角形等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 16．（1）钝角；（2）5或；（3）直角三角形，理由如下. 【分析】（1）由22+32＜42，即可得出结论； （2）分两种情况：①当x为斜边时；②当x为直角边时，斜边为4；由勾股定理即可求出x的值； （3）由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：（1）若一个三角形的三条边长分别是2，3，4，则该三角形是钝角三角形； 理由如下： ∵22+32＜42， ∴该三角形是钝角三角形； 故答案为钝角； （2）若一个三角形的三条边长分别是3，4，x且这个三角形是直角三角形， 则x的值为5或； 理由如下： ①    当x为斜边时，； ②    当x为直角边时，斜边为4，； 综上所述：x的值为5或； （3）若一个三角形的三条边长分别是，mn，，这个三角形是直角三角形；理由如下： ∵＞，≥mn，； ∴这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键． 17．135° 【分析】连接AC，根据等腰直角三角形的性质可得∠DAC＝∠DCA＝45°，根据勾股定理求得AC，再根据勾股定理逆定理求得∠BAC＝90°，继而即可求解． 【详解】解：连接AC， ∵CD＝AD＝2米，∠D＝90°， ∴AC＝（米），∠DAC＝∠DCA＝45°， ∵AB＝米，BC＝5米， ∴， ∴∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝45°+90°＝135°， 即∠A的度数为135°． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及其逆定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识点进行推理计算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$