27.2.3相似三角形应用举例 解答题专题训练 2024-2025学年人教版九年级数学下册

2024-2025学年人教版九年级数学下册《27.2.3相似三角形应用举例》 解答题专题训练（附答案） 1．如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，其中眼睛，标杆顶，树顶在同一条直线上（人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上）．已知米，米，米，求树高．    2．创新数学兴趣小组利用太阳光线测量旗杆的高度，如图，高1m的标杆竖直放置在水平地面上，其影长为． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； (2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长，请求出旗杆的高度． 3．杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”，某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算雷峰塔的高度．    4．夜晚， 小明站在两路灯之间的点 处， 小明身高， 如图， 若，他在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)若，，求路灯的高度? (2)若和的高度都恰好等于（1）中的高度，小明在两路灯 之间行走（不包括点，点），则线段的长是否为定值? 若是， 请求出的长；若不是，请说明理由． 5．青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋，一天，小明和小刚去青龙守游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）．小明在处竖立了一根标杆，小刚走到处时，站立在处看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上．此时测得小刚的眼睛到地面的距离米；然后，小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端．已知米，米，米，点小、、在一条直线上，，，．根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度． 6．如图1，小明想利用太阳的影子测量树的高度，他首先在地面上直立一根3米的标杆，在测量时，标杆的影子为，此时树的影子一部分落在地面处，另一部分落在墙上处，已知，米，点，，，，，，在同一平面内，求树的高度．（温馨提示：①太阳光与地面以及与地面平行线的夹角相等；②为了方便解答，请用图2．） 7．5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．我校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，小李和同学们想用所学知识测量该旗帜的宽度，他们进行了如下操作：如图，首先，小李在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，米，米，米；然后，另一人手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，米，米，，已知，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在上，求旗帜的宽度． 8．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试． (1)如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少． (2)不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？ 9．某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一古建筑的高度（如图1）．如图2，在地面上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且古建筑，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处（即），从D处观察A点，A、F、D三点成一线；从标杆后退到C处（即），从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．已知B、E、D、G、C在同一直线上，，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该古建筑的高度． 10．如图，小明想测量河对岸建筑物的高度，在地面上处放置了一块平面镜，然后从点向后退了2.4米至处，小明的眼睛恰好看到了镜中建筑物的像，在处做好标记，将平面镜移至处，小明再次从点后退2.52米至处，眼睛恰好又看到了镜中建筑物顶端的像，已知小明眼睛距地面的高度，均为1.6米.，，，点、在一条直线上，求建筑物的高度（平面镜的大小和厚度忽略不计） 11．如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B，当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路灯A的底部，当她向前再步行到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是，两路灯的高度都是． (1)当时，求x的值； (2)当小华在路灯A与路灯B之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变化？若不变，求出两个影子长的和；若发生变化，请说明理由． 12．如图，某厂有许多形如四边形的铁皮边角料，其中，，，，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形片BEFG（阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y的值． 13．铜川市【铜川1958】雕塑群体展现了铜川1958年因煤设市、因煤而兴的一个时代的记忆．某数学兴趣小组的同学计划测量雕塑上方人物铜像的高度．如图，小组同学在处竖立一根可伸缩的标杆，甲站在处恰好看到标杆顶端和人物铜像底端在一条直线上，米，米；甲站在处不动，小组同学调整标杆的高度，当标杆的顶点恰好在处时，甲看到标杆顶端和人物铜像顶端A在一条直线上，米，，，，点在上，点在上，点、、在一条水平线上，请根据以上测量数据与方法求出人物铜像的高度． 14．小明晚上路过一个羽毛球场，场地的周围是平坦的草坪．他想测量场地旁边路灯的高度，但是没有带任何测量工具．他发现路灯与羽毛球网在同一平面，于是，小明调整自己的步伐，尽量使得每一步步长相同．小明测出离路灯较近的网杆在路灯下的影长为2步，离路灯较远的网杆在路灯下的影长为5步．回家后小明上网查资料得到羽毛球网杆高米，网长米，同时测得1步米．已知，，，垂足分别为点B、D、E．求路灯的高．（结果保留一位小数） 15．小延想要测量学校教学楼的高度，他站在N点处时，视线通过旗杆的顶端与顶楼的窗子下沿C重合，他向前走到点G处时，视线通过旗杆的顶端与楼顶A重合，已知小延的眼睛与地面的距离米，米，米，米，米，、、、均与地面垂直，且在同一平面内，请你根据以上数据计算教学楼高度． 16．小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为1.8米的标杆．已知路灯悬臂与地面平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点在同一直线上，此时小明发现路灯、标杆顶端和地面上另一点也在同一条直线上（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时小明测得长1.5米，路灯的正下方距离路灯主杆底端的距离为3米．请根据以上信息求出路灯主杆的高度． 17．【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 18．【问题初探】在四边形中，点在上，点，在，边上，连接，交于点，且． （1）如图，四边形是菱形，，求证：； 【问题再探】 （2）如图，四边形是平行四边形，，求证：； 【学以致用】 （3）如图，在四边形中，，点在上，于点，若，，，求的值． 19．如图1，在直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，顶点分别在轴与轴的正半轴上，点为轴正半轴上的一个动点，连结，把沿直线折叠，得到，边交边于点． (1)当点在上时， ①求证：； ②求点的坐标． (2)如图2，当点在点上方时，边与边交于点．若边与四边形中的另一边相等时，请求出所有满足条件的的长． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴负半轴于点C． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点D，使得，当时，求点D的坐标； (3)如图2，平面上一点，过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接、，分别交y轴于M、N两点，则与的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 参考答案 1．解：如图，过点作于点，交于点．    由已知得，，． ，， 四边形、、为矩形， （米），（米），（米）， （米）． ，， ， ， ， ，解得（米）， （米）． 答：树高为米． 2．解：（1）连接AC，过D点作DG//AC交BC于G点，影子EG如图所示； （2）∵DG//AC， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得:， ∴旗杆的高度为． 3．解：根据题意得米，米，米，米， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②， 由①②得，解得（米）， 把代入①得，解得（米）， 答：雷峰塔的高度为米． 4．（1）解：由题可知，， 则， ∵，，， ∴，， 又∵， 故， 解得； （2）解：线段的长是定值为，理由如下， 由题可知，， ∴，， ，， ∵，, ∴， 化简得， ∵，，， ∴， 解得， 故线段的长是定值为． 5．解：如图，延长、交于点， 由题意可知， 为三角形的中位线，， ， ， 小明在地面上放一个镜子，恰好在处时，小刚刚好能从镜子里看到树的顶端， ， 又， ， ， ， 设为，则，， 则， ， 解得：， ， 这棵樱花树的高度为 6．解：如图：延长交延长线于H ∴ ∴，即，则 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴,解得：． 7．解：如下图，延长交于Q，则，， ， ， ， ，即， ， 同理得， ， ， ， ， ， (米)， 旗帜的宽度是1.4米． 8．（1）解：∵， ∴． ∴． ∴， ∴， 解得； ∴灯泡离地面的高度为； （2）设横向影子，的长度和为， 同理可得． ∴， 即， 解得：， ∴横向影子，的长度和为． 9．解：设，由题意可知， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则，即， 解得：， 答：该古建筑的高度为． 10．解：根据题意知，， ∴ ∴，即， ∴ 根据题意知，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴建筑物的高度为32m 11．（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：； （2）解：不会发生变化； 如图，当小华在A，B之间走动时，在A路灯下的影子长度为，在B路灯下的影子长度为， ∵， ∴， ∴， ∴，， 则，，整理得：，， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴，解得：， ∴两个影子的长的和不会变，一直都是． 12．解：如图，过点D作，垂足为点H，与相交于点M． ∵，四边形为矩形， ∴四边形为矩形，四边形为矩形． ∴，，． ∴，，． ∵， ∴，． ∴， ∴，即． ∴． ∴． ∴当时，矩形的面积最大，此时． 所以，矩形两边长x，y的值为15，12． 13．解：过点作于点，交于点，如图所示： 易得米，米， 米． ，， ， ，， ， ， 同理得：， ∴， ∴， 即， ， 人物铜像的高度为12米． 14．解：设米，米， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， 答：路灯的高度约为米． 15．解：如图所示，连接并延长交分别于H、P两点，则由题意可知，设教学楼高为h米，则 ∵、、、均与地面垂直 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 故教学楼的高22．6米． 16．解：过点作于，交于点， ，， ， ， ， 等于的边上的高， ，，， ， 米．米， ， ， ，即， （米， （米， 答：路灯主杆的高度为5.4米． 17．解：（1）在中，， ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ， ， ∵，， ， ， ， ∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC， 由题意可知，， ∴，即， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，2×， ． 18．（1）证明：过点作交于点，沿翻折， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴，即沿翻折，点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作沿平移，使得点与点重合，得到线段， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，沿翻折，点是点的对应点，连接，作沿平移，使得点与点重合，得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是公共角， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点作的平行线，延长与交于点，过点作交于点，平移使得点与点重合，得到线段， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 由的，， ∴， 解得：（舍）或； ∴，， ∴， ∴． 19．（1）①证明：连接， 由题意得： ∵， ∴当时，， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：过点作轴于点， ∵， ∴，， 设，则， ∴在中，根据勾股定理得， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ， ∴， ∴； （2）解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即此时点和点重合， ∴； ②当时， 由①知，， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理知，， 即， 解得， ∵， ∴， 解得（舍去负值）， ∴； ③当时， 过点作于点，作于点， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 过点作于点， 由①知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时点在的延长线上，不符合题意舍去， 综上所述，符合条件的的长为或． 20．（1）解：抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ，解得，， ， 点A的坐标为； （2）解：过点作，过点作轴， ， ， ， ， 点A的坐标为， ， ， 抛物线解析式为，即， 令，解得， 的坐标为， ， ， ， ， ， ， ，， 的坐标为， 设直线的解析式为：， 将和代入解析式有， ，解得， 直线的解析式为， 当 时，解得（不合题意舍去）或， 当时，， 点D的坐标为； （3）解：抛物线（其中），交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ，解得，， 即，， 过点作任意一条直线交抛物线于P、Q两点， 设直线的解析式为，记，， 有点在图象上， ，即， 直线的解析式为， 联立， 整理得， ，， 作轴，作轴，如图所示 ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$