函数的奇偶性复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的性质：函数的奇偶性复习讲义 考点一 奇偶性的定义与证明 1. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于________________对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于________________对称. 3. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的_____________的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 1．（24-25高一上·安徽阜阳·期中·多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，定义域为R，，函数为奇函数； 对于B，定义域为R，，函数不是奇函数； 对于C，，函数定义域为R，，函数为奇函数； 对于D，，函数定义域为， ，函数为奇函数. 故选：ACD. 2．（24-25高一上·江苏南京·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】对于选项A：当时，；当时，； 可知不为偶函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 由二次函数性质可知：在区间上为增函数，故B正确； 对于选项C：当时，；当时，； 可知在区间上不为增函数，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为，且， 所以为偶函数， 当时，， 由一次函数性质可知：在区间上为增函数，故D正确； 故选：BD. 3．（24-25高一上·湖南永州·期中·多选）下列函数中，即是偶函数，又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A选项：定义域为， ，不是偶函数，故A选项错误； B选项：定义域为，，是偶函数，且当时，在单调递增，B选项正确； C选项：定义域为，，是偶函数，由二次函数图形及性质可知在单调递增，C选项正确； D选项：定义域为，，不是偶函数，D选项错误. 故选：BC. 4．（23-24高一上·广东广州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得， 对于A，是奇函数，故A正确； 对于B，不是奇函数，故B不正确； 对于C，，其定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故C不正确； 对于D，，其定义域不关于原点对称，不是奇函数，故D不正确. 故选：A. 5．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误； 又，所以选项B错误. 选项D满足以上特征. 故选：D． 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】由于的定义域为，且， 故为奇函数，图象关于原点对称，此时可排除， 且当，，此时可排除B, 故选：A 7．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】的定义域为，它关于原点对称，且， 所以是偶函数，排除AB， 当时，，排除C，经检验，D符合题意. 故选：D. 8．（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】由于 所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除AC， 当，此时排除B， 故选；D 考点二 奇偶性的应用 1. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 2. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则___________________. ②若二次函数为偶函数，则___________________. 3.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 考向一 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【详解】因为是定义域为的奇函数，当时，， 所以，即，此时， 则当时，，， 所以． 故答案为：． 3．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 即时，的解析式为. 故答案为： 4．（24-25高一上·北京·期中）已知是定义域为R的奇函数，且当时，，则① ；②当时， . 【答案】 【详解】①因为是定义域为R的奇函数，且当时，， 所以； ②由已知，当时，， 则， 所以当时，. 故答案为：；. 5．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以； 当，则，所以. 故答案为：；. 6．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 考向二 构造奇偶性求值 1．（24-25高一上·山西·期中）已知函数，，则 . 【答案】 【详解】∵，， 所以. 故答案为：． 2．（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】令，则为奇函数， 因为，所以，， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 . 【答案】 【详解】依题意，，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 又， 所以，即， 两式相加得. 故答案为： 4．（24-25高一上·广东茂名·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【详解】令， 定义域为：，定义域关于原点对称， 则， 则为奇函数， ∴ ∴，∴. 故答案为：. 考向三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数为奇函数，则实数的值为 . 【答案】0 【详解】由题意可得，即， 整理可得，即. 故答案为： 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）若函数为奇函数，则实数 . 【答案】2 【详解】因为为奇函数，所以. 先求出，将换为，可得. 而. 所以. . 展开左边式子. 展开右边式子. 左右两边的系数应该相等，，解得. 故答案为：2. 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数是偶函数，则实数 ． 【答案】0 【详解】由于函数是偶函数， 所以， 所以恒成立，所以， 此时是偶函数，符合题意. 故答案为：0 4．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【详解】由题意，， 所以，而，是奇函数． 故答案为：． 5．（24-25高一上·湖南常德·期中）已知，是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为是偶函数，则其定义域关于原点对称， 所以，解得， 故答案为：. 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 是偶函数，则 . 【答案】0 【详解】因为是偶函数，所以函数的对称轴为， 即，得. 故答案为：0 考点三 单调性与奇偶性结合 1.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 (1)若函数在定义域上单调递增，且，则. (2)若函数在定义域上单调递减，且，则. (3)若函数为偶函数，在上单调递减，且，则________________________. (4)若函数为奇函数，在上单调递减，且，则_____________________. (5)注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 考向一 由奇偶性与单调性确定函数值正负 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，. 得；. 则或. 故选：C 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，，函数是上的奇函数，则， 函数是偶函数，而不等式化为，即， 又当时，，于是，解得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵在单调递减，∴，故B错误； 又是偶函数，所以在上单调递增， ∴，故C错误； 而由是偶函数以及其单调性可得， ∴，故A正确，D错误； 故选：A． 4．（24-25高一上·北京·期中）设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又因为为奇函数，可得当时，；当时，； 若，则或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 5．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据奇函数的性质，奇函数在单调递减，则在上仍然递减. 当时，，在上单调递减，故，则； 当时，注意到，于是，在单调递减，故，则. 综上，. 故选：D 6．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，则等价于， 因为，在上单调递减，所以由得； 若，则等价于，由题知在上单调递增，且， 所以由得； 综上，的解集为. 故选：A. 考向二 由奇偶性与单调性解不等式 1．（23-24高一上·天津南开·期中）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以等价于， 因为当时，为减函数， 则，解得，或， 故答案为：. 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）奇函数在区间上单调递增，不等式的解集是 . 【答案】 【详解】因为是奇函数，则. 所以， 由在区间上单调递增， 则，解得. 故不等式的解集是. 故答案为：. 3．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 【答案】 【详解】因为偶函数在区间上单调递减，所以偶函数在区间上单调递增， 所有或， 解得或，所以x的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 【答案】 【详解】由对任意，当时总有，得函数在上单调递增， 而函数是定义域为R的偶函数，则函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得， 所以所求x的范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为 【答案】 【详解】设，则，， 由，得， ，即. 设，则在上单调递增， 又为定义域为的偶函数，所以， 得，则为上的奇函数， 所以在上也单调递增. 由，得， 由，得， 当时，由，得，即， 解得； 当时，由，得，即， 解得， 所以的解集为. 故答案为： 6．（24-25高一上·广东茂名·期中）定义在R上的函数满足. (1)求值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)，为偶函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）， ，， ，其定义域为R， 且满足， 函数为偶函数； （2）函数在上单调递增. 证明：令， ， ，， . ， 在上单调递增. （3）由（1）（2）知偶函数在上单调递增， ， 即. 解得或. 原不等式的解集为. 7．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义法研究在上的单调性； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)函数在上是增函数； (3). 【详解】（1）根据题意，是上的奇函数，故， 又，故，则， 时，，所以为奇函数， 故. （2）在上是增函数，理由如下， 设，则， 因为，所以，且，则， 则，即， 所以函数在上是增函数； （3）等价于， 又在是单调增函数，故可得， 解得，即不等式的解集为. 8．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知函数是奇函数. (1)求a的值并用定义法证明函数的单调性； (2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）函数，定义域是R， 依题意有，得，即 ， 此时 满足题意. ， 由此可判断出是R上的递增函数. 以下用定义证明：，且，则， ， 即，故是R上的递增函数. （2）是奇函数且在R上的单调递增，不等式，可得，得，即， 对任意的，恒成立，即在上恒成立， 时，，，，当且仅当，即时等号成立， ∴，实数m的取值范围为 . 考点四 抽象函数的单调性与奇偶性 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为______函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得______________________，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 1．（24-25高一上·河南南阳·期中·多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（   ） A．是上的增函数 B．是上的减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】BC 【详解】由题意知，函数的定义域为，对，，都有成立； 令，则，即， 令，得，则，即，所以函数是奇函数，故C正确，D不正确； 设，则，得，即， 因为时，，所以，得，即，所以函数是上的减函数，故A不正确，B正确； 故选：BC. 2．（24-25高一上·山西·期中·多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 又令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 即，所以，故C正确； 对于D，令，得， 所以， 所以当时，得，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故D正确. 故选：BCD. 3．（24-25高一上·湖南·期中·多选）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】ABC 【详解】对于A选项，令，则，即，A正确； 对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确； 对于C选项，是奇函数，C正确； 对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确. 故选：ABC. 4．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 5．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上的单调递增，证明见解析. 【详解】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 6．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析，不等式解集为或 【详解】（1）令得，故， 令得，故. （2）令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. （3）设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 7．（24-25高一上·广东广州·其中）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 又由，得， 则， （2）令，则， 则有，故，则是奇函数 （3）设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 8．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为，令，得到， 令，得到，即，所以是奇函数. （2）令，得到，由（1）知是奇函数， 所以. （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则， 又因为，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 9．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的性质：函数的奇偶性复习讲义 考点一 奇偶性的定义与证明 1. 奇偶性的定义 (1)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做偶函数． (2)一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有___________，那么函数就叫做奇函数． 2. 具有奇偶性的函数的图像特征 (1)若函数是偶函数，则函数的图像关于________________对称. (2)若函数是奇函数，则函数的图像关于________________对称. 3. 判断奇偶性的步骤 (1)证明函数的_____________的对称性. (2)求的解析式，与进行比较，进而下结论. 1．（24-25高一上·安徽阜阳·期中·多选）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏南京·期中·多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖南永州·期中·多选）下列函数中，即是偶函数，又在上单调递增的函数有（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东广州·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 6．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（    ） A．B．C． D． 7．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）函数的图象为（    ） A．  B．  C．   D．   8．（24-25高一上·福建龙岩·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 考点二 奇偶性的应用 1. 利用奇偶性求解析式 已知函数为定义在上的偶(奇)函数，当时，函数，当时，求解析式. (1)设，则. (2)将代入时的解析式，得. (3)若函数为偶函数，则当时，. 若函数为奇函数，则当时，. 2. 利用奇偶性求参数 (1)若已知函数为上的偶函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数. 若已知函数为上的奇函数，则令，解方程可求参数.（核心就是在定义域内进行赋值） (2)常见的两个函数：①若一次函数为奇函数，则___________________. ②若二次函数为偶函数，则___________________. 3.构造奇偶性求值 若函数，其中函数为奇函数.已知，求. (1)因为，所以 (2)因为函数为奇函数，，所以. (3). 考向一 利用奇偶性求解析式 1．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，，则当时， ． 3．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 4．（24-25高一上·北京·期中）已知是定义域为R的奇函数，且当时，，则① ；②当时， . 5．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；当时， . 6．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 考向二 构造奇偶性求值 1．（24-25高一上·山西·期中）已知函数，，则 . 2．（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数，若，则 ． 3．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 . 4．（24-25高一上·广东茂名·期中）已知函数，若，则 . 考向三 利用奇偶性求参数 1．（24-25高一上·山东烟台·期中）若函数为奇函数，则实数的值为 . 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）若函数为奇函数，则实数 . 3．（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数是偶函数，则实数 ． 4．（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的奇函数，则 . 5．（24-25高一上·湖南常德·期中）已知，是偶函数，则实数的值为 ． 6．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 是偶函数，则 . 考点三 单调性与奇偶性结合 1.单调性与奇偶性的关系 (1)若为奇函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. (2)若为偶函数，则在关于原点对称的两个区间上的单调性________. 2.利用单调性和奇偶性解不等式 (1)若函数在定义域上单调递增，且，则. (2)若函数在定义域上单调递减，且，则. (3)若函数为偶函数，在上单调递减，且，则________________________. (4)若函数为奇函数，在上单调递减，且，则_____________________. (5)注意讨论、. 3.利用单调性和奇偶性画图 (1)取值，描点，先作轴右侧的图像. (2)通过奇偶性的性质，对称得到轴左侧的图像. 考向一 由奇偶性与单调性确定函数值正负 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏连云港·期中）定义在上的偶函数，在区间上单调递减，下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·宁夏·期中）奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考向二 由奇偶性与单调性解不等式 1．（23-24高一上·天津南开·期中）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 . 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）奇函数在区间上单调递增，不等式的解集是 . 3．（24-25高一上·陕西西安·期中）已知偶函数在区间上单调递减，且，若，则x的取值范围是 4．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，当时总有，则满足的x的范围是 . 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数是定义域为的偶函数，当为两个不相等的正实数时，恒成立，若，，则不等式的解为 6．（24-25高一上·广东茂名·期中）定义在R上的函数满足. (1)求值，并判断函数的奇偶性； (2)判断并用定义证明函数在上的单调性； (3)解不等式. 7．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义法研究在上的单调性； (3)解不等式. 8．（24-25高一上·山东淄博·期中）已知函数是奇函数. (1)求a的值并用定义法证明函数的单调性； (2)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 考点四 抽象函数的单调性与奇偶性 1.常见的抽象函数的关系 (1) (2) (3) (4) 2.抽象函数求值 通过给所给关系式的自变量赋值，可以求出一些特殊的函数值 3.抽象函数的奇偶性（以为例） 函数的奇偶性是探究与的关系，而，所以需要探究、与的关系. (1)令，求出. (2)令，代入得，即，所以函数为______函数. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再结合特殊值证明奇偶性 4.抽象函数的单调性（以为例） 函数的单调性核心是在已知两个自变量大小的关系下探究函数值的关系. (1)记，且、定义域 (2)令，联立解得 (3)将上式代入，得______________________，探究的正负得函数的单调性. (3)核心：将题目所给自变量构造为“”与“”，再证明的正负性或与1的大小关系. 1．（24-25高一上·河南南阳·期中·多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（   ） A．是上的增函数 B．是上的减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 2．（24-25高一上·山西·期中·多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 3．（24-25高一上·湖南·期中·多选）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．是奇函数 D．是偶函数 4．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 5．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 6．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 7．（24-25高一上·广东广州·其中）已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 8．（23-24高一下·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足：． (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，判断并证明的单调性． 9．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$