函数的单调性复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的性质：函数的单调性复习讲义 考点一 单调性的定义与证明 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是_______________，称为的________________；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有________________，那么就说在区间上是________________，称为的________________. ※ 对，或在上是______函数. 对，或在上是______函数. 2.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 2．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）画出下列函数的图象（不需要过程直接画出图像），写出它们的单调区间． (1)； (2)． 4．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 5．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 考点二 单调性的应用 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. ②若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 2.单调性的应用----解不等式 (1) 若是单调增函数，且，则. (2) 若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 3.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性______________. (2)注意____________问题. 4.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在________上递增，在________上递增，且. (2)若函数在上递减，则在________上递减，在________上递减，且. 5.单调性的应用----二次函数的单调性 对于一元二次函数，且 （、为常数） (1)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3)若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 考向一 单调性的应用----求最值与值域 1．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 考向二 单调性的应用----解不等式 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 3．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数. (1)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 8．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围. 考向三 单调性的应用----复合函数的单调性 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为 ． 2．（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为 . 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 4．（24-25高一上·天津南开·期中）的单调递增区间为 . 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 6．（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为 ． 7．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 考向四 单调性的应用----分段函数的单调性 1．（24-25高一上·天津·期中）若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 2．（24-25高一上·云南文山·期中）满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是 ． 3．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 4．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 考向五 单调性的应用----二次函数的单调性 1．（24-25高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数，且． (1)求实数的值，并求函数在区间上的最小值． (2)求关于的不等式的解集． 3．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知函数，将的图象上所有点向右平移2个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)（i）记函数在上的最小值为，求的表达式； （ii）若存在实数，使得函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围. 4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 5．（24-25高一上·山东·期中）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当，时，求的最大值. 6．（24-25高一上·重庆·期中）若函数 (1)当时，求的解集； (2)设，若时，的最大值为3，求a的值； (3)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的性质：函数的单调性复习讲义 考点一 单调性的定义与证明 1. 单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有______________，那么就说在区间上是_______________，称为的________________；如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有________________，那么就说在区间上是________________，称为的________________. ※ 对，或在上是______函数. 对，或在上是______函数. 2.单调性的证明方法 （1）作图法 ①一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的图像可直接作出. ②常见函数的变换：如平移、伸缩、对称、翻折得可由原函数得出. （2）作差法 解题步骤：取值作差变形定号结论 ①取值：设、（定义域）且. ②作差：计算或. ③变形：因式分解，配方，有理化的方法对计算或进行分解. ④定号：确定或的正负性，当不能确定时，需要分类讨论. ⑤判断：根据定义做出判断. 1．（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 2．（23-24高二下·福建南平·期中）函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）画出下列函数的图象（不需要过程直接画出图像），写出它们的单调区间．    (1)； (2)． 【答案】(1)递增区间是，；递减区间是，. (2)递增区间是，；递减区间是，. 【详解】（1）    由图可得函数的单调递增区间是，； 它的单调递减区间是，. （2）   由图可得函数的单调递增区间是，； 它的单调递减区间是，. 4．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 5．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知函数，函数. (1)求函数的解析式； (2)试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，证明见解析 【详解】（1）令，则， ∴， ∴，即， ∴. （2）函数在区间上单调递减. 证明：任取，，且. 则， 又因为，所以，， 则， ∴，即， ∴函数在区间上单调递减. 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数 (1)求实数a值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3)增区间是，单调递减区间是和 【详解】（1）由条件可知，，得； （2）， 设， ， ， 因为，所以，，且，则， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由（2）可知，， 当时，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 当，，，，则， 所以，，即， 所以函数在上单调递减， 综上可知，函数的增区间是，单调递减区间是和. 考点二 单调性的应用 1.单调性的应用----求最值与值域 (1) 单调性唯一类型： ①若函数在上单调递增，则，. ②若函数在上单调递减，则，. (2) 单调性不唯一类型： ①若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. ②若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 2.单调性的应用----解不等式 (1) 若是单调增函数，且，则. (2) 若是单调减函数，且，则. ※ 注意：利用单调性解不等式需注意定义域问题. 3.单调性的应用----复合函数的单调性 (1)复合函数的单调性______________. (2)注意____________问题. 4.单调性的应用----分段函数的单调性 对于分段函数 (1)若函数在上递增，则在________上递增，在________上递增，且. (2)若函数在上递减，则在________上递减，在________上递减，且. 5.单调性的应用----二次函数的单调性 对于一元二次函数，且 （、为常数） (1)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2)若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3)若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 考向一 单调性的应用----求最值与值域 1．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 2．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为. 4．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 考向二 单调性的应用----解不等式 1．（24-25高一上·湖北·期中）已知是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，函数是定义在上的减函数，因为 得 ，解得， 所以x的取值范围是 . 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是上是减函数，那么下述式子中正确的是（    ） A． B． C． D．以上关系均不确定 【答案】A 【详解】对进行变形可得. 因为任何数的平方都大于等于，那么，即. 因为函数在上是减函数，且. 根据减函数的性质，自变量越大函数值越小，所以. 故选：A. 3．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在单调递减，且， 所以，即，解得. 故选：C. 4．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 5．（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，令， 则，因此函数在上单调递增，由，得， 由，得，即， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：C 6．（24-25高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的函数满足，对任意的，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，不妨设，即， 得， 即，则，即， 令，即，因此在上单调递减， 不等式中，，则有，又， 于是，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D 7．（24-25高一上·贵州·期中）已知函数. (1)判断在上的单调性并用单调性的定义证明你的结论； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减. 证明如下： 设，则. 因为，所以，，所以， 所以，所以， 即在上单调递减. （2）由（1）可知在上单调递减，且，， 所以不等式等价于不等式. 当时，，即，解得； 当时，，即，解得. 综上，. 故不等式的解集是. 8．（24-25高一上·广东清远·期中）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）任取，且， 则， 又，，则，所以， 得到，即，所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为，且在区间上是增函数， 由，得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 考向三 单调性的应用----复合函数的单调性 1．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）已知函数，则该函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，解得或， 又由复合函数的单调性可得函数的递增区间为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为 . 【答案】 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 4．（24-25高一上·天津南开·期中）的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】易知函数是由指数函数和二次函数复合而来， 由复合函数单调性可知求出函数的单调递减区间即可， 利用二次函数性质可知，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 5．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 6．（23-24高一上·河北唐山·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】（也对） 【详解】由得， 解得，所以的定义域是. 函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为：（也对） 7．（24-25高三上·江苏泰州·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由，解得或， 所以的定义域为. 函数在上单调递增，的开口向上，对称轴为， 根据复合函数单调性同增异减可知的单调递增区间是. 故答案为： 考向四 单调性的应用----分段函数的单调性 1．（24-25高一上·天津·期中）若函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】对任意，都有成立，则函数为减函数， 则当时，函数为减函数，则，即， 当时，函数为减函数，则，即， 同时恒成立，解得 综上，得， 即实数的取值范围是. 故答案为：． 2．（24-25高一上·云南文山·期中）满足对任意实数，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：对任意实数，都有， 即与同号， 故为上的增函数， 故分段函数的每一段单调递增，且分界点处单调递增， 故， 解得：． 故答案为：． 3．（22-23高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意是递增函数，因此， 时，， 因此，解得， 故答案为：． 4．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为为增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 考向五 单调性的应用----二次函数的单调性 1．（24-25高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知二次函数，且． (1)求实数的值，并求函数在区间上的最小值． (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见详解 【详解】（1）由题意可知：二次函数在处取到最小值， 则，即，可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在上单调递减， 所以的最小值为； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为； 若时，在上单调递增， 所以的最小值为； 综上所述： （2）因为，即， 可得， （i）若，则，解得，原不等式解集为； （ⅱ）若，令，解得或， 原不等式解集为； （ⅲ）若，令，解得或， ①当，即时，原不等式解集为； ②当，即时，原不等式解集为； ③当，即时，原不等式解集为； 综上所述：若，原不等式解集为； 若，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为； 若时，原不等式解集为. 3．（24-25高一上·江西上饶·期中）已知函数，将的图象上所有点向右平移2个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)（i）记函数在上的最小值为，求的表达式； （ii）若存在实数，使得函数在区间上单调且值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）， 化简得； （2）函数开口向上，对称轴为. （i）当，即时，函数在上递增，则； 当，即时，函数在上递减，在上递增， 则； 当，即时，函数在上递减，则； . （ii）①若函数在区间上递增，则， 由题意得，即，是方程的两个不同根， ，解得， 且时，，即，解得， ； ②若，函数在区间上不单调，不合题意； ③若函数在区间上递减，则， 由题意得， 两式相减得，即， 代入上式得， 即是方程的两个不同根， ，解得， 且时，， 即，解得， 综上，. 4．（24-25高一上·北京延庆·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的值域； (2)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围； (3)当时，比较与的次小. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数， ， 故函数的值域为. （2）函数，对称轴为直线， 当函数在上是单调增函数时，，， 当函数在上是单调减函数时，，， 综上得，实数的取值范围为. （3）当时，，对称轴为直线， 在上为减函数，在上为增函数，且， ∵， ∴，故. 5．（24-25高一上·山东·期中）已知二次函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当，时，求的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. （2）当，对称轴为， 区间中点为，比较与的关系， ①当，即时，； ②当，即时，； 综上可得. 6．（24-25高一上·重庆·期中）若函数 (1)当时，求的解集； (2)设，若时，的最大值为3，求a的值； (3)若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【详解】（1）由题设，即，解集为； （2）由，，其开口向上且对称轴为， 若时，，此时，满足； 若时，，不满足； 综上，； （3）由题设， 又，令，故， 问题化为，对使恒成立， 由调换主元为一次函数，而， 所以在上单调递减，故只需在上， 而，故只需在上， 所以，可得或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$