函数的概念、定义域、解析式、值域复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的概念：定义域、解析式、值域复习讲义 考点一 函数的定义域 1.定义：在一个函数关系中，自变量的取值范围叫作函数的定义域. 2.具体函数的定义域 (1)(为偶数)限制条件：___________________. (2)限制条件：___________________. (3)限制条件：___________________. (4)限制条件：___________________. (5)如果函数解析式由多个函数复合而成，先分别求出每一段的解析式，再取交集. 3.抽象函数的定义域 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域.再转化为(1) 4.注意事项：定义域必须写成区间或者集合的形式. 考向一 具体函数的定义域 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·西藏拉萨·期末）求函数的定义域 ． 3．（23-24高一上·山东威海·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 6．（23-24高一上·福建三明·期末）函数的定义域为 ． 考向二 抽象函数的定义域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为 则的定义域为 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 3．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 考向三 由定义域求参数 1．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点二 函数的解析式 1.函数的解析式----待定系数法 (1)常见函数的解析式 ①一次函数解析式： ②二次函数解析式： ③反比例函数解析式： ④指数函数解析式： ⑤对数函数解析式： ⑥幂函数解析式： (2) 如果已知函数的类型，可采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件代入联立方程组求解参数. 2.函数的解析式----换元法 换元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式. 3.函数的解析式----配凑法 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． 4.函数的解析式----解方程组法 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 考向一 函数的解析式----待定系数法 1．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 2．（23-24高一上·贵州毕节·期末·节选）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； 3．（23-24高一上·安徽·期中·节选）已知一次函数满足. (1)求的解析式； 考向二 函数的解析式----换元法 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 3．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 4．（23-24高二下·重庆江津·期末）已知函数满足，则 . 考向三 函数的解析式----配凑法 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 考向四 函数的解析式----解方程组法 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习·节选）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； 2．（23-24高二下·河北衡水·期末·节选）已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； 考点三 函数的值域 1.函数的值域----单调性法 (1)若函数在上单调递增，则，. (2)若函数在上单调递减，则，. (3)若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. (4)若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 2.函数的值域----配方法 (1)函数，化为，进而讨论最值. (2)需要注意函数的定义域，不能简单的认为二次函数在对称轴的位置取得最值. 3.函数的值域----换元法 (1)若函数的某一部分较复杂或生疏，尤其是复合函数，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解. (2)使用换元法求值域时，需注意新元的取值范围. 4.函数的值域----分离常数法 (1)函数. (2)由的范围得到的范围，再得到的范围，再得到的范围，进而得到函数值域. (3)若，则，不要遗漏. 5.函数的值域----基本不等式法 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域. 6.函数的值域----判别式法 形如，同乘得，合并同类型得， 令，解不等式可得的范围，即为函数的值域. 形如、也可使用判别式法，但必须求整个定义域内的值域时方可使用. 考向一 函数的值域----单调性法 1．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 考向二 函数的值域----换元法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向三 函数的值域----分离常数法 1．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）对于函数，下列描述正确的选项是（    ）. A．减函数且值域为 B．增函数且值域为 C．减函数且值域为 D．增函数且值域为 考向四 函数的值域----基本不等式法 1．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）函数的值域（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）求函数的值域 考向五 函数的值域----判别式法 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的概念：定义域、解析式、值域复习讲义 考点一 函数的定义域 1.定义：在一个函数关系中，自变量的取值范围叫作函数的定义域. 2.具体函数的定义域 (1)(为偶数)限制条件：___________________. (2)限制条件：___________________. (3)限制条件：___________________. (4)限制条件：___________________. (5)如果函数解析式由多个函数复合而成，先分别求出每一段的解析式，再取交集. 3.抽象函数的定义域 (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (2)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域. (3)已知函数的定义域为，求函数的定义域. 令，求解得的范围，就是函数的定义域.再转化为(1) 4.注意事项：定义域必须写成区间或者集合的形式. 考向一 具体函数的定义域 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，则应有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2．（23-24高一上·西藏拉萨·期末）求函数的定义域 ． 【答案】 【详解】由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：． 3．（23-24高一上·山东威海·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 4．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】函数的定义域为 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 6．（23-24高一上·福建三明·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 考向二 抽象函数的定义域 1．（23-24高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为 则的定义域为 【答案】 ，最后求出交集即可得解. 【详解】由已知，的定义域为，所以对于 需满足,解得 故答案为：. 2．（23-24高一上·安徽六安·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为的定义域为， 所以满足， 又函数有意义， 所以， 所以函数的定义域为， 故答案为： 3．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数的定义域为， 所以，， 所以函数的定义域为， 所以的定义域为． 故选：B. 4．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为，函数，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，可得 函数的定义域为，函数， 可得 解得， 所以函数定义域为． 故选：D． 5．（22-23高一上·陕西西安·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为，即，所以，所以，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 考向三 由定义域求参数 1．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 2．（24-25高一上·北京·期中）已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在上恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则需，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：B 3．（23-24高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意； 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，由题意得关于x的不等式恒成立， 故，解得或. 综上，实数a的取值范围是. 故选：D 考点二 函数的解析式 1.函数的解析式----待定系数法 (1)常见函数的解析式 ①一次函数解析式： ②二次函数解析式： ③反比例函数解析式： ④指数函数解析式： ⑤对数函数解析式： ⑥幂函数解析式： (2) 如果已知函数的类型，可采用待定系数法，设出函数解析式，根据已知条件代入联立方程组求解参数. 2.函数的解析式----换元法 换元法，已知，求，令，解出，代入中，得到一个含的解析式，即为所求解析式. 3.函数的解析式----配凑法 配凑法，已知，求，从的解析式中配凑出“”，即用来表示，然后将解析式中的用代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意的取值范围的限定． 4.函数的解析式----解方程组法 已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边所有的，得到关于与的方程组，消去解出即可．常见的有与，与． 考向一 函数的解析式----待定系数法 1．（22-23高二下·河北秦皇岛·期末）一次函数在上单调递增，且，则 . 【答案】 【详解】设，则， ， 则.又在上单调递增，即， 所以，，则. 故答案为： 2．（23-24高一上·贵州毕节·期末·节选）已知二次函数满足，且，. (1)求函数的解析式； 【答案】(1) 【详解】（1）设二次函数. 由，得图象的对称轴为， 所以，解得. 由得，， 可得. 由得，，解得. 所以. 3．（23-24高一上·安徽·期中·节选）已知一次函数满足. (1)求的解析式； 【答案】(1) 【详解】（1）设. 则， 于是有，解得，. 考向二 函数的解析式----换元法 1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知，且，则=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意知，且， 用代换x，则， 即得， 故选：B 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】令，则， 即 故答案为：. 3．（23-24高一上·山西临汾·阶段练习）已知，则函数 . 【答案】 【详解】， 所以. 故答案为： 4．（23-24高二下·重庆江津·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】令则 所以， 故， 故答案为： 考向三 函数的解析式----配凑法 1．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，∴， 故选：A. 2．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数，则函数的解析式是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】，且，所以，. 故选：B. 考向四 函数的解析式----解方程组法 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习·节选）已知函数满足，函数满足． (1)求函数和的解析式； 【答案】(1)， 【详解】（1）令，即，所以，即， 因为①，②， 由①②解得，. 2．（23-24高二下·河北衡水·期末·节选）已知函数对任意x满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； 【答案】(1)， 【详解】（1）①，用代替上式中的x， 得②， 联立①②，可得； 设（）， 所以， 即 所以，解得，， 又，得， 所以. 考点三 函数的值域 1.函数的值域----单调性法 (1)若函数在上单调递增，则，. (2)若函数在上单调递减，则，. (3)若函数在上单调递增，在上单调递减，则，. (4)若函数在上单调递减，在上单调递增，则，. 2.函数的值域----配方法 (1)函数，化为，进而讨论最值. (2)需要注意函数的定义域，不能简单的认为二次函数在对称轴的位置取得最值. 3.函数的值域----换元法 (1)若函数的某一部分较复杂或生疏，尤其是复合函数，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解. (2)使用换元法求值域时，需注意新元的取值范围. 4.函数的值域----分离常数法 (1)函数. (2)由的范围得到的范围，再得到的范围，再得到的范围，进而得到函数值域. (3)若，则，不要遗漏. 5.函数的值域----基本不等式法 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域. 6.函数的值域----判别式法 形如，同乘得，合并同类型得， 令，解不等式可得的范围，即为函数的值域. 形如、也可使用判别式法，但必须求整个定义域内的值域时方可使用. 考向一 函数的值域----单调性法 1．（23-24高三上·宁夏固原·阶段练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 所以该函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，又， 所以，即函数的值域为. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的对称轴为， 当时，当时，当时，值域为，故A错误； 当时，当时，当时，当时，则值域为，故B错误； 当时，当时，当时，值域为，故C正确； 当时，当时，当时，值域为，故D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·河南南阳·期中）若函数在区间上的值域为，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】由函数， 所以当时，有最小值， 当时，即，解得或， 又因为时，单调递减，时，单调递增， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 4．（24-25高一上·江苏镇江·期中）已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 又，，所以值域为. 故选：B. 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 考向二 函数的值域----换元法 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 令，，则， 由一元二次函数的图象和性质可知上单调递增，在上单调递减， 所以，即函数的值域为， 故选：A 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，， 所以函数的值域为. 故选：C 3．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 则，所以函数的值域为. 故选：B 4．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 5．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 6．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 考向三 函数的值域----分离常数法 1．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 2．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 3．（23-24高一上·广西南宁·期中）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 故选：A． 4．（24-25高一上·广东深圳·期中）对于函数，下列描述正确的选项是（    ）. A．减函数且值域为 B．增函数且值域为 C．减函数且值域为 D．增函数且值域为 【答案】B 【解析】转化条件为，结合指数函数、反比例函数的性质即可得解. 【详解】函数, 因为函数且单调递增，所以单调递减，为增函数， 又，所以，， 所以即的值域为. 故选：B. 考向四 函数的值域----基本不等式法 1．（23-24高一上·四川雅安·开学考试）函数的值域（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，所以， 因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值， 所以 所以， 故选：D 2．（23-24高一上·广东潮州·期中）求函数的值域 【答案】 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故函数的值域为. 考向五 函数的值域----判别式法 1．（23-24高一上·浙江·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B 2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】C 【详解】设题中函数为，则， 当时，； 当时，视其为关于x的二次方程， 判别式， 综上，故值域为． 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$