第五章 三角函数全章知识梳理-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数 全章知识梳理 考点1、任意角与弧度制、各类角的表示 1.任意角的概念 （1）我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角.规定如下： 正角：按逆时针方向旋转形成的角. 负角：按顺时针方向旋转形成的角. 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角. （2）终边相同的角：与终边相同的角可以表示为. 2.弧度与角度的互化 （1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角. （2）角的弧度数公式：. （3）角度与弧度的换算 （4）扇形的弧长及面积公式：弧长公式：. 面积公式：. 3.象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 4.轴线角 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非负半轴 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴非正半轴 或 终边落在轴 终边落在轴 或 终边落在坐标轴 5.终边相同的角 所有与角终边相同的角为 考点2、任意角的三角函数及单位圆 1.三角函数 （1）任意角的三角函数的定义 设角终边上任意一点P（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为r，则. 2.单位圆及单位圆定义法 （1）单位圆定义 半径为单位1，圆心在原点的圆，叫做单位圆；单位圆在三角函数中经常需要使用到，一定要熟记单位圆性质。 （2）单位圆定义法： 如图,设是一个任意角,, 它的终边与单位圆相交于点 ①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即 ②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即　　　　  ③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作, 即()  我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 3.三角函数值在各象限内的符号 上述符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 4. 终边相同的角的三角函数 即终边相同的角的同一三角函数值相等. 5.同角三角函数关系 （1）平方关系：. （2）商数关系：. 6.三角函数线 设角（假设为第一象限角）的终边与单位圆相交点，由点向轴做垂线，垂足为点，由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示： 在中： 为正弦线，长度为正弦值。 为余弦线，长度为余弦值。 在中：。 为正切线，长度为正切值。 各象限内角的三角函数线如下表： 角的终边所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0，当角的正弦值都为0， 当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值不存在. 考点3、诱导公式及简化口诀 1.诱导公式 函数 角 正弦 余弦 正切 2.诱导口诀理解 角“”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限.” 为了方便叙述，把“”叫做整体角，“”叫做确定角（必须是“”的整数倍），“ɑ”叫做未知角（当成锐角） （1） 奇变偶不变：“奇、偶”指的是确定角是“”的奇数倍还是偶数倍；“变、不变”指的是函数名是否要改变，需要改变时，按如下： sin ɑ ➩cos ɑ，cos ɑ ➩sin ɑ ，tan ɑ➩cot ɑ （2）符号看象限：先看整体角在哪个象限，化简结果的正负性与整体角所在象限的原名函数正负性相同； 考点4、三角函数图像和性质 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）正弦函数的图像中，五个关键点：. 正弦函数,的图象叫做正弦曲线. （2）余弦函数的图像中，五个关键点： ，. 余弦函数,的图象叫做余弦曲线. 2.用“五点法”画在一个周期内的简图 用五点画图法画在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下： 0 0 0 - 0 3.用几何法作正弦函数和余弦函数的简图 （1）在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标 由此，以为横坐标，为纵坐标画点,即得到函数图象上的点。 （2）将函数，的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度)。 （3）要得到，的图象，只需把，的图象向左平移个单位长度即可,这是因为。 4正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质 函数 性质 定义域 R R 图像 值域 R 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称中心： 对称中心： 最小正周期 单调性 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间： 单调减区间： 单调增区间： 奇偶性 奇 偶 奇 考点5、三角恒等变换 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2）； （3）. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）； （2） （3）. 3.降幂公式 （1）； （2） 4.半角公式 （1） （2） （3） 5.万能公式 （1）（2）（3） 6.辅助角公式 其中 7.其他常用变形 ； ； 8.角的拆分与组合 （1）用已知角表示未知角 例如， （2）互余与互补关系 例如， . （3）非特殊角转化为特殊角 例如，. 考点6、函数y=Asin（x+）及图像变换 1.用“五点法”画在一个周期内的简图 用五点画图法画在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线，其中所列表如下： 0 0 0 - 0 对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出后两行） 第二步：逆向解出（如上表中） 第三步：得到五个关键点为，，，， 2.的物理意义 振幅 周期 频率 相位 初相 3.由函数的图像变换得到图像的步骤 上述两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言的. 特别提醒 （1）平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数。 （2）为负值时应先变成正值。 4.根据图象求解析式 形如的解析式求法： （1）的求法： ①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置. ②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解. （2）的求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出. （3）的求法： ①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解. （第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近） ②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解. ③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案. 考点7、函数y=Asin（+）及图像变换 1.的物理意义 当用来描述一个振动时，即简谐运动，各常数含义如表。 振幅 周期 频率 相位 初相 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 对应时的相位 时的相位称为初相 2.应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题时，要先把实际问题抽象为数学问题，通过分析变化对象及其规律，找出对应周期及起始相位，建立适当的三角函数模型，解决问题的一般程序如下：  （1）审题，先审清楚题目条件、要求、理解数学关系。 （2）建模，分析题目特性，选择适当的三角函数模型。 （3）求解，对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论。 （4）还原，把数学结论还原为实际问题的解答。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$