3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习导入 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 1 3.2.2双曲线的简单几何性质 （第1课时） 第三章 圆锥曲线的方程 2 问题引入 问题1：类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 范围、对称性、顶点、离心率 范围、对称性、顶点、离心率 类比研究椭圆的简单几何性质的方法，分别从“形”的角度和“数”的角度研究范围，对称性，顶点，离心率等. 有没有双曲线所特有的性质？ 3 1.双曲线的简单几何性质： “形”的角度：观察双曲线 “数”的角度： x y -a a O （1）范围 新知探究 双曲线上点的横坐标的范围是，或, 纵坐标的范围是 说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域. 4 （2）对称性 “数”的角度： 新知探究 “形”的角度：观察双曲线 双曲线关于轴、轴、原点都对称 设是双曲线上的任一点 则关于轴的对称点为 结合双曲线方程可知，在双曲线上 ∴双曲线关于轴对称，同理可得双曲线关于轴、原点对称 x y -a a O 坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心. 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 5 新知探究 探究1：类比求椭圆顶点的方法，双曲线的顶点是什么？ （3）顶点 “形”的角度：观察双曲线 与轴有两交点； 与轴无交点 “数”的角度： 令，得 与轴有两交点 令，得 与轴无交点，， 顶点： 实轴：线段，它的长等于叫做双曲线的实半轴长. 虚轴：线段，它的长等于叫做双曲线的虚半轴长. F1 F2 O x y • • A1 • A2 • B1 • B2 • 6 辨析1：已知双曲线方程为，则( ) A.实轴长为，虚轴长为 B.实轴长为，虚轴长为 C.实轴长为，虚轴长为 D.实轴长为，虚轴长为 练习巩固 7 练习巩固 辨析2：求出的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标，并试画出的图像. 解：，，所以， 实轴长：；虚轴长：； 顶点：；焦点坐标 仅靠目前性质无法得出较精确的图像 8 新知探究 探究2：与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率，因为，试探究双曲线的离心率与椭圆的离心率的范围有什么不同？ ∵∴. 追问：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征? 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小． （4）离心率 离心率越大“张口”越大. 9 新知探究 探究3：利用信息技术画出双曲线和两条直线.在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ F1 F2 O x y • • A2 • B1 • B2 • 可以发现，点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于. 可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交. 实际上，经过两点，作轴的平行线， 经过两点作轴的平行线， 四条直线围成一个矩形. 矩形的两条对角线所在直线的方程是. A1 • 10 新知探究 11 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线【即】逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线. 实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． （5）渐近线 新知探究 特别地，在双曲线方程中， 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. (即矩形的两条对角线的方程) 12 新知探究 问题2：你能说出等轴双曲线有什么性质吗？ 方程变为，此时双曲线实轴和虚轴长都等于; 这时，四条直线，围成正方形; 渐近线方程：，互相垂直， 且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角; 离心率：. 等轴双曲线： y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 • • 13 问题3：类比焦点在轴的双曲线的渐近线方程，你能否给出焦点在轴的双曲线的渐近线方程？ 的渐近线方程 ， 对于双曲线 和它的渐近线 ， 将方程中的与互换，就得到双曲线 即 ． 新知探究 规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0, 即可得两条直线的方程. 14 新知探究 课本P128具体原因 （5）渐近线 (即矩形的两条对角线的方程) 利用渐近线可以较为准确地画出双曲线的草图： 画矩形 画渐进线 画双曲线的草图 15 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率. (1)定义： (2)e的范围： (3)e的含义： 当时，,且增大,也增大 新知探究 ∵∴. （4）离心率 16 新知探究 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 17 练习巩固 辨析3：判断正误. (1)双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.( ) (2)以为渐近线的双曲线有条.( ) (3)双曲线的离心率(其中).( ) 【答案】√，×, ×. 辨析4：双曲线的离心率，则_________. 【答案】. 18 小结 方程 图像 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 关于轴、轴、原点对称 ，或 19 1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 20 1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 21 1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 22 1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程. 解： 23 新知探究 F1 • F2 • • • • • 24 $$