3.2.1双曲线及其标准方程(第1课时)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

复习导入 定义 图形 方程 焦点 之间的关系 (c,0)、(c,0) (0,c)、(0,c) a2=b2+c2 分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆 1 第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1双曲线及其标准方程 （第1课时） 2 问题引入 平面截圆锥 用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆. 如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？ 3 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质.本节我们将类比椭圆的研究过程与方法研究双曲线的有关问题. 问题引入 4 新知探究 猜想:如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”,那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 常数 下面我们借助信息技术探究一下 5 即 所以，其交点的轨迹是椭圆; 新知探究 探究1：如图，在直线上取两个定点, 是直线上的动点，在平面内，取定点，以点为圆心、线段为半径作圆，再以为圆心、线段为半径作圆. 当点在线段上运动时， 如果， 那么两圆相交或内切，此时 同理 6 新知探究 改变条件：如图，当点在线段外运动时，在的条件下，这时动点满足什么几何条件?两圆的交点的轨迹是什么形状? 当点靠近定点， 当点靠近定点，; 7 新知探究 我们发现： 总之，点与两个定点, 距离 的差的绝对值是个常数. . 这时，点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 即 ，双曲线 8 动画演示 结束放映 9 M F1 F2 平面内与两个定点，的距离的差的绝对值 等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点，叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 通常情况下，我们把记为, 常数记为， 则双曲线定义还可以描述为 （符号表述）若，则点的轨迹是双曲线. 问题1：定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 1.双曲线的定义： 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 新知探究 10 ① 若, 即，则轨迹是什么？ ② 若, 即，则轨迹是什么？ ③ 若, 即，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以或为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段的垂直平分线 分3种情况来看： 问题2：定义中为什么强调常数要小于且不等于(即)？ 如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？ F1 F2 M F1 F2 M 新知探究 11 1．已知两定点，，动点满足， 则当和时，点的轨迹为(　　) A．双曲线和一直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条射线 D．双曲线的一支和一条直线 概念深化 随堂练习 12 新知探究 探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ M F1 F2 O y x ①建系 如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，如图建立平面直角坐标系． ②设点 设是双曲线上任意一点，双曲线的 焦距为，那么，焦点的坐标分别是). ③几何关系 (为大于的常数，). 13 新知探究 ④代数关系 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： 因为, 所以 ① 类比椭圆标准方程，化简①，得 两边同时除以，得 由双曲线定义知，，即，所以. 类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中， 代入上式，得.② M F1 F2 O y x 14 如图示, 若双曲线的焦点在x轴上, 则双曲线的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2+b2. 新知探究 2.双曲线的标准方程： y x 问题3：你能在轴上找一点，使得； 在轴上找一点，使得吗? 15 新知探究 问题4：类比椭圆，请思考焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ y x ， 哪个系数为正，焦点就在哪一个轴上,且谁正谁为. 其中焦点坐标为F1(0, －c), F2(0,c), c2＝a2+b2. 如图示, 若双曲线的焦点在y轴上, 则双曲线的标准方程为 问题5：根据上述讨论，如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 记忆口诀： 化成标准式， 分母谁正谁为a，焦点总跟正项走 16 a, b, c中a最大 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a>b>0, c2=a2-b2 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) ① 方程用“－”号连接； ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0， 但a, b大小不定； ③如果x2的系数是正的， 则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的， 则焦点在y轴上. ④ c2=a2+b2 ； 3.双曲线与椭圆之间的区别与联系： 系数正负 a, b, c中c最大 17 练习巩固 辨析1：判断正误. (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( ) (1)在双曲线标准方程中，，，且.( ) (2)方程表示焦点在轴上的双曲线.( ) (3)方程表示双曲线.( ) 辨析2：若动点到点，的距离之差的绝对值为，则点的轨迹是( ). A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 【答案】. × × × √ 18 练习巩固 辨析3：已知双曲线的，，则该双曲线的标准方程为( ). A. B. C. 或 D.或 【答案】. 辨析4：设是双曲线上一点，，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则_____________. 【答案】或17. 19 辨析5： (1)已知双曲线的方程为： 则 =___，=___，=____，焦点坐标______________，焦距等于____. (2)已知双曲线的方程为： 则 =___，=___，=____，焦点坐标______________，焦距等于____. 3 4 5 10 (-5,0)、(5,0) 4 3 5 (0，-5)、(0，5) 10 1.椭圆中最大，在双曲线中最大, 2.椭圆方程中,双曲线中； 3.判断焦点位置方法不同。 总结: 练习巩固 20 EVCapture4.1.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn Lavf58.76.100 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$