精品解析：江苏省苏州中学伟长实验部2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

苏州中学伟长实验部2024-2025学年第一学期 初三数学期中试题 一、选择题（共8小题） 1. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答． 【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上， 故选D． 2. 若二次函数的图象经过第一、二、三象限，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，与轴的交点不在负半轴上，即，且，然后解不等式组即可． 【详解】解：抛物线经过第一、二、三象限， 且， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系． 3. 若二次函数y＝（x-m）2-1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. m＝3 B. m＞3 C. m≥3 D. m≤3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解． 【详解】解：二次函数y=（x-m）2-1的对称轴为直线x=m， ∵当x≤3时，y随x的增大而减小， ∴m≥3， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键． 4. 如图，在中，，，，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用勾股定理求得的长，再利用正切函数的定义求得，据此求解即可． 【详解】解：过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得．则竹竿与的长度之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是利用正弦的定义求解．根据题意可得，再根据锐角三角函数即可求出竹竿与的长度之比． 【详解】解：根据题意可知：， 在中，，即， 在中，，即， ∴， ∴． 故选D． 6. 当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解． 【详解】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选B． 7. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断甲说得对；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求得点移动到点的最短路程为，即可判断乙说得对；由可知当时，，根据一次函数的性质即可判断丙说得错． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有；故甲说得对； 将抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， 点移动到点的最短路程为，故乙说得对； ， 当时，， 随着的增大而减小， 当时，随着的增大，线段变短，故丙说得错． 故选：A． 8. 定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的对称性可知，所有构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的顶点纵坐标必定小于1，据此对上一步结论分析可得满足美丽抛物线对应的顶点，再确定抛物线与x轴的交点值与对称轴的距离，从而可求得d的值 【详解】解： 直线l：经过点M（0，）则b=， ∴直线l： 由抛物线的对称性知： 抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形； ∴该等腰三角形的高等于斜边的一半 ∵0＜d＜1 ∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）∵当x=1时，＜1； 当x=2时， ＜1； 当x=3时，＞1； ∴美丽抛物线的顶点只有 ①若为顶点，由，则 ， ②若为顶点，由，则 综上所述，d的值为或 时，存在美丽抛物线． 故选B． 【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，抛物线的对称性． 二、填空题 9. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 【答案】30° 【解析】 【详解】试题分析： 先由α为锐角，tan（90°﹣α）=，可得90°﹣α=60°，解得α=30°． 考点：特殊角的三角函数值 10. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出二次函数图象与x轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【详解】解：∵, ∴二次函数的图象的对称轴方程为直线， ∵二次函数的图象经过点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴方程解为， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出二次函数图象与x轴的交点坐标，此题难度不大． 11. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，C两港之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正弦函数的计算，如图，连接，得，从而得到，利用勾股定理计算即可． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是正方形的边的中点，点与点关于对称，则的值为 ___． 【答案】## 【解析】 【分析】延长交于，连接，设，，根据正方形的性质及轴对称的性质得，，，，由得，则，，然后在中，由勾股定理求出，则，由此可求出的值． 【详解】解：延长交于，连接，如图所示： 点是的中点， 设，， ， 四边形是正方形， ，， 点与点关于对称， ，，， ， 在△和中， ， ， ， ，， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，理解正方形的性质，轴对称的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 14. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是_____（填序号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线开口向下则，又抛物线的对称轴为直线，则，由抛物线交轴于正半轴，则，即可判断；由对称轴对称轴的取值范围，可得的正负，即可判断；由抛物线经过得（），由图知，当时，得（），由图知，当时，，得（），联立（）、（）、（）便可求得的取值范围，即可判断；由抛物线的对称轴，，得，进而得，即可判断；由当得，由得，进而得的取值范围，即可判断；熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线交轴于正半轴， ∴， ∴， 故不正确； ∵抛物线与轴交点的横坐标分别为、，其中，， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵抛物线经过， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 由图知，当时，， ∴（）， 联立（）（）得， 联立（）（）得， ∴， ∴， 故错误； ∵抛物线的对称轴， ∴抛物线的顶点纵坐标应该大于， ∴， ∵， ∴， ∴， 故正确； 当时，， 当时，， ∴， ∴， 故正确； 综上：正确的结论是， 故答案为：． 15. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 _________（结果保留小数点后两位）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数据的处理和应用，涉及反比例，方程等知识，理清题意，找到相等关系是解题的关键． 根据和，列出方程，求出k即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴； 故答案为：． 16. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在网格中找到格点M，证明CM平分∠ACB，再求∠ACM的正弦值即可． 【详解】解：如图：连接格点MA，由图可知，∠MAC=90°，作MN⊥BC，垂足为N，连接BM， ，，，， ∵， ∴， ∴MN=， ∴MN=AM， ∴∠ACM=， ； 故答案为： 【点睛】本题考查了求锐角的三角函数值，勾股定理，解题关键是找到恰当的网格点，平分∠ACB，并且能够构建直角三角形，求三角函数值． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，分母有理数等知识，根据特殊角的三角函数值，分母有理数进行运算即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次不等式的解法，先分解因式得到，根据异号得负得到或，解题即可． 【详解】解：， ，即， ∴或， 解得：． 19. 解关于x的不等式：． 【答案】当时，，当时，. 【解析】 【分析】本题考查了利用二次函数解不等式，根据二次函数与x轴交点和抛物线得开口方向判断即可得出结论． 根据二次函数图象的性质，得出的解集即图象在x轴下方的部分（含交点）求解即可． 【详解】解：∵设， 当时，即， 解得：，， ∴与x轴交点坐标为：，， ∵，故开口方向上， 故的图象是与轴交点之间的部分（含交点）， ∴当时，，当时，. 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 【答案】（1） （2）模拟不正确，此题属于不放回实验，而模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【解析】 【分析】此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，（1）此题属于不放回实验；（2）此题模拟的为放回实验；所以模拟的不正确． 【详解】（1）图中肉馅的用表示，香肠馅的用表示，两只红枣馅的用表示：画树状图． 所以； （2）略 21. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元． （1）当销售单价时，则每天的销售利润 ； （2）求与之间的函数解析式； （3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）300 （2） （3）这种双肩包销售单价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元 【解析】 【分析】（1）根据销售利润=单个利润×数量，即可求解； （2）根据销售利润=单个利润×数量，即可进行解答； （3）求出（2）中函数解析式的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性即可进行解答． 【小问1详解】 解：当时，， ， 故答案为：300． 【小问2详解】 解：， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ∵，且， 当时，W有最大值， 此时，． 答：这种双肩包销售单价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是400元 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系，列出函数解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质． 22. 阅读下列材料： （1）如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； （2）如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】（1） 证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 23. 已知关于x的方程的两个实数根都大于2且小于4，试求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】此题是一元二次方程根的问题，主要考查了二次函数与一元二次方程的根关系，解不等式组，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 根据方程的两个实数根都大于2且小于4，确定二次函数的图象两个交点在2和4之间，由此确定对称轴和顶点位置，再由当和时，函数值大于0即可确定实数的取值范围． 【详解】解∶设， ∵关于x的方程的两个实数根都大于2且小于4， ∴ 由①得：， 由②得：或 ∴， 又∵，抛物线开口方向向上，顶点在x轴下方， ∴当时，，解得， ∴当时，，解得， 综上所述：． 24. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； 【小问2详解】 解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 25. 已知二次函数（m为常数）． （1）证明：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． （2）当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为4，求m的值． 【答案】（1）证明：已知函数， 令y＝0，，则， ∴方程没有实数根， ∴不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． （2）m＝1或 【解析】 【分析】（1）根据判别式的值得到=，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线，讨论：当和两种情况讨论即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵二次函数，∴，，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵当时，y的最小值为4， ∴当即时， 则x＝－2时，y取得最小值4，代入得，解得或（舍去）， 当，即时，则x＝2m时，y取得最小值4， 代入，得，方程无解， 当，即时，则x＝1时，y取得最小值4， 代入，得，解得m＝1或m＝0（舍去）． 综上所述，m＝1或． 【点睛】本题考查了抛物线与的交点：把二次函数（）与轴的交点坐标问题转化为一元二次方程，也考查二次函数的性质． 26. 城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口， （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； （3）当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）喷出水的最大射程为； （2）点的坐标为； （3）不能，理由： ∵当时，，则， ∴点F的横坐标为6， 把代入， ∴所以不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为，则是由向左平移得到的，即可求出点B的坐标； （3）当时，，则，求出当时的函数值，即可判断． 【小问1详解】 解：如图1，由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时，，解得，（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． 27. 如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； （3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 【答案】（1） （2）点P的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得，， ，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为，，，故有，解得，（舍去），故点P的坐标为； （3）连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为，可求，，则，，，而，则．设，则，，，即，可得，故，则，则①，由点F在上，得到，化简得②，由①，②可得，解得，因此，故的函数表达式为． 【小问1详解】 解：（1）将，代入，得， ， 解得： 对应的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：设对应的函数表达式为，将点代入 得：， 解得：． 对应的函数表达式为：，其对称轴为直线． 又图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线l于点H（如答图①） 由二次函数的对称性得，， ∴． 又，而 ． 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为． 将代入，得， 将代入，得． ，， 即，解得，（舍去）． 点P的坐标为； 【小问3详解】 解：连接，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②） ，轴，轴， 四边形为矩形， ，． 设对应的函数表达式为， 点D，E分别为二次函数图象，的顶点， 将分别代入， 得， ∴，， ，，． 在中，． ， ． 又， ． ． 设，则，． ， ． ， ． ， ． 又， ， ① 点F在上， ， 即． ， ② 由①，②可得． 解得（舍去），， ． 的函数表达式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州中学伟长实验部2024-2025学年第一学期 初三数学期中试题 一、选择题（共8小题） 1. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次函数的图象经过第一、二、三象限，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 若二次函数y＝（x-m）2-1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. m＝3 B. m＞3 C. m≥3 D. m≤3 4. 如图，在中，，，，则的长为（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. 如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得．则竹竿与的长度之比为（　　） A. B. C. D. 6. 当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定 7. 在学习“二次函数的性质”时，初三某班数学兴趣小组的同学们做了以下研究：如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上． 甲：无论取何值，都有． 乙：若点平移后的对应点为，则点移动到点的最短路程为； 丙：当时，随着的增大，线段先变长后变短，下列判断正确的是（ ） A. 只有丙说得错 B. 只有乙说得错 C. 只有甲说得对 D. 甲、乙、丙说得都对 8. 定义：若抛物线的顶点与轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线：经过点一组抛物线的顶点，，，…（为正整数），依次是直线上的点，这组抛物线与轴正半轴的交点依次是：，，，…（为正整数）．若，当为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线． A. 或 B. 或 C. 或 D. 二、填空题 9. 已知a为锐角，tan（90°﹣a）=，则a的度数为________. 10. 若二次函数的图象经过点，则方程的解为______________． 11. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为_____． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为______． 13. 如图，是正方形的边的中点，点与点关于对称，则的值为 ___． 14. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论： ；；；；． 其中正确的是_____（填序号） 15. 叶子是植物进行光合作用的重要部分，研究植物的生长情况会关注叶面的面积．在研究水稻等农作物的生长时，经常用一个简洁的经验公式来估算叶面的面积，其中a，b分别是稻叶的长和宽（如图1），k是常数，则由图1可知k ＞1．试验小组采集了某个品种的稻叶的一些样本，发现绝大部分稻叶的形状比较狭长（如图2），大致都在稻叶的处“收尖”．根据图2进行估算，对于此品种的稻叶，经验公式中k的值约为 _________（结果保留小数点后两位）． 16. 如图，的顶点都在正方形网格纸的格点上，则__________． 三、解答题 17. 计算： 18. 解不等式：． 19. 解关于x的不等式：． 20. 端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，五月初五早上，奶奶为小明准备了四只粽子：一只肉馅，一只香肠馅，两只红枣馅，四只粽子除内部馅料不同外其他均一切相同．小明喜欢吃红枣馅的粽子． （1）请你用树状图为小明预测一下吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率； （2）在吃粽子之前，小明准备用一格均匀的正四面体骰子（如图所示）进行吃粽子的模拟试验，规定：掷得点数向上代表肉馅，点数向上代表香肠馅，点数，向上代表红枣馅，连续抛掷这个骰子两次表示随机吃两只粽子，从而估计吃两只粽子刚好都是红枣馅的概率．你认为这样模拟正确吗？试说明理由． 21. 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：．设这种双肩包每天的销售利润为元． （1）当销售单价时，则每天的销售利润 ； （2）求与之间的函数解析式； （3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 22. 阅读下列材料： （1）如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； （2）如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 23. 已知关于x的方程的两个实数根都大于2且小于4，试求实数的取值范围． 24. 图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． （1）如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； （2）如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 25. 已知二次函数（m为常数）． （1）证明：不论m为何值，该函数图象与x轴没有公共点． （2）当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为4，求m的值． 26. 城市绿化部门定期安排洒水车为公路两侧绿化带浇水，如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口离地竖直高度为．如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口， （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）求内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； （3）当时，判断洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带，并说明理由． 27. 如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点，． （1）求图象对应的函数表达式； （2）若图象过点，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标； （3）如图②，D，E分别为二次函数图象，的顶点，连接，过点A作．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $