5.6.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 第五章 三角函数 5.6 第1课时 函数y=Asin( x+ )的图象 学习目标 1.理解参数A, , 对函数y=Asin( x+ )的图象的影响;能够将y=sin x的图象进行交换得到y=Asin( x+ ),x∈R的图象.(难点) 2.会用“五点法”画函数y=Asin( x+ )的简图;能根据y=Asin( x+ )的部分图象,确定其解析式.(重点) 3.求函数解析式时 值的确定.(易错点) 情德善孝 志勤专勇 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 0 0 1 0 -1 0 2 0 0 1 0 -1 0 2 探究新知 探索 对的图象的影响 1 -1 o x y 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 知识点 参数A, , 对函数y=Asin( x+ )图象的影响 规律1. 对函数y=sin(x+ )图象的影响 | | 一般地,函数的图象,可以看作是把的图象上所有的点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到. 情德善孝 志勤专勇 0 0 1 0 -1 0 2 0 0 1 0 -1 0 2 探究新知 探索对的图象的影响 1 -1 x y y=sin(2x + )② y=sin(x+ )① O 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 规律2. ( >0)对函数y=sin( x+ )图象的影响 缩短 伸长 知识点 参数A, , 对函数y=Asin( x+ )图象的影响 一般地,函数的图象,可以看作是把的图象上所有点的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的1/倍(纵坐标不变)而得到的. 情德善孝 志勤专勇 1.列表: 0 -3 0 3 0 0 1 0 -1 0 探究新知 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 2. 描点、作图: x O y 2 1 2 2 1 3 -3 3 思考:上述函数 图象如何由正弦 函数图象变换得到? 探究新知 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 规律3.A(A>0)对y=Asin( x+ )图象的影响 伸长 缩短 知识点 参数A, , 对函数y=Asin( x+ )图象的影响 结论:函数的图象,可以看作是把上所有点的纵坐标伸长(当时)或缩短(当时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的,从而,函数的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A. 情德善孝 志勤专勇 根据周期性将作出的简图左右扩展. x y o 3 -3 因为T= ,所以用“五点法”先作长度为一个周期的闭区间上的简图. 探究新知 总结函数 的简图得到的方式. 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 函数 的图象 (3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 的图象 (1)向左平移 的图象 纵坐标不变 (2)横坐标缩短到原来的 倍 还可以通过平移伸缩变换得到. 探究新知 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 1 -1 2 -2 o x y 3 -3 2 y=sin(2x + )② y=sinx y=sin(x+ )① y=3sin(2x+ )③ 方法1:先平移后伸缩演示 探究新知 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 (3)横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍 的图象 的图象 (1)横坐标缩短到原来的 倍 纵坐标不变 (2)向左平移 函数 的图象 【思考交流】还有其他变换方式吗? 探究新知 1 -1 2 -2 o x y 3 -3 2 y=sin(2x+ )② y=sinx y=3sin(2x+ )③ y=sin2x① 方法2:先伸缩后平移演示 探究新知 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 名师点睛 由y=sin x的图象得到y=Asin( x+ )(A>0, >0)的图象的两种方法: 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 过关自诊 1.由y=sin x的图象变换为y=sin(x+ )( ≠0)的图象时,应注意什么? 提示 应注意 的正负. 情德善孝 志勤专勇 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University A 情德善孝 志勤专勇 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 3.[北师大版教材习题]函数y=Asin( x+ )(A>0, >0,0< <2 )一个周期的图象如图所示,试确定A, , 的值. 情德善孝 志勤专勇 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究点一 用“五点法”作函数y=Asin( x+ )的图象 解 列表如下: 描点连线(如图所示). 情德善孝 志勤专勇 规律方法 1.“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数y=Asin( x+ )的图象,实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象. 2.用“五点法”作函数y=Asin( x+ )图象的步骤 第一步:列表. 第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象. 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 解 列表如下: 探究点二 函数y=Asin( x+ )的图象变换 情德善孝 志勤专勇 情德善孝 志勤专勇 情德善孝 志勤专勇 规律方法 1.对函数y=Asin( x+ )+k(A>0, >0, ≠0,k≠0),其图象的基本变换有: (1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A>1时伸长,A<1时缩短. (2)周期变换(横向伸缩变换):是由 的变化引起的, >1时缩短, <1时伸长. (3)相位变换(横向平移变换):是由 引起的, >0时左移, <0时右移. (4)上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k>0时上移,k<0时下移. 可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换. 2.若相应变换的函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化一致,再利用相应的变换得到结论. 3.由y=Asin( x+ )+k(A>0, >0, ≠0,k≠0)的图象得到y=sin x的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到. 情德善孝 志勤专勇 变式训练3 (1)若将函数f(x)=3sin(2x+ )(0< < )图象上的每一个点都向左平移 个单位长度,得到y=g(x)的图象,若函数y=g(x)是奇函数,则函数y=g(x)的单调递增区间为( ) B 情德善孝 志勤专勇 情德善孝 志勤专勇 探究点三 匀速圆周运动的数学模型 【例1】 一个大风车的半径为6 m,12 min旋转一周,它的最低点P0离地面2 m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(单位:m)与时间t(单位:min)之间的函数关系式是( ) D 情德善孝 志勤专勇 情德善孝 志勤专勇 规律方法 匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值,半径影响振幅A,频率或周期能确定 ,初始位置不同对 有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系. 情德善孝 志勤专勇 变式训练1 为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针指向位置P(x,y),若初始位置为P0 ,秒针从P0(注:此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为( ) C 解析 设y=sin( t+ ). ∵秒针是顺时针旋转,∴ <0. 又由每60秒转一周, 情德善孝 志勤专勇 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平移变换. (2)伸缩变换. (3)图象的画法. 2.方法归纳:五点法、数形结合法. 3.常见误区:先平移和先伸缩作图时平移的量不一样. 情德善孝 志勤专勇 成果验收 课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 B 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 D 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 A 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 解析 因为 ∈[0,2 ), 所以把y=sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度得到y=sin(x+ )的图象, 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 5.由y=3sin x的图象变换得到y=3sin 的图象主要有两个过程:先平移后伸缩和先伸缩后平移,前者需将图象上所有的点向左平移 个单位长度,后者需将图象上所有的点向左平移 个单位长度. 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 6.作出函数y=2sin 的图象,并指出该函数的图象是由函数y=sin x的图象经过怎样的变换得到? 解 列表如下: 情德善孝 志勤专勇 1 2 3 4 5 6 情德善孝 志勤专勇 2.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin x的图象( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析 将函数y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度, 就可得到函数y=sin的图象. 解 由函数图象可知A=4,T=-=4 , >0, 则 =, 所以y=4sin. 由 + = +2k ,k∈Z,得 =+2k ,k∈Z. 又0< <2 ,故 =. 综上可知,A=4, =, =. 【例2】 作出函数y=sin在长度为一个周期的闭区间上的简图. x- 0 2 x 4 7 y=sin 0 0 - 0 描点,连线得函数y=cos在一个周期内的图象,如图. 变式训练2 作出函数y=cos在长度为一个周期的闭区间上的简图. x+ 0 2 x - y 0 - 0 【例3】 已知函数y=sin+,该函数的图象可由y=sin x,x∈R的 图象经过怎样的变换得到? 解 (方法1)步骤:①将函数y=sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度, 得到函数y=sin的图象; ②把y=sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的,而纵坐标不变, 得到函数y=sin的图象; ③将函数y=sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的, 横坐标不变,得到函数y=sin的图象; ④把得到的y=sin的图象上所有的点向上平移个单位长度, 就能得到y=sin的图象. (方法2)步骤: ①将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的, 而纵坐标不变,得到函数y=sin 2x的图象; ②将y=sin 2x的图象上所有的点向左平移个单位长度, 得到函数y=sin的图象; ③将y=sin的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的,横坐标不变, 得到函数y=sin的图象; ④再把得到的y=sin的图象上所有的点向上平移个单位长度, 就得到函数y=sin的图象. A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析 由题意g(x)=3sin=3sin, ∵函数y=g(x)是奇函数,∴+ =k ,k∈Z, ∵0< < ,∴取k=1, =. ∴g(x)=-3sin 2x,∴当2k +≤2x≤2k +,k∈Z, 即k +≤x≤k +,k∈Z时,函数g(x)单调递增,故选B. 解析 把函数y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin的图象, 再把函数y=sin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍, 纵坐标不变,得到函数f(x)=sin的图象, 所以f=sin=sin . (2)将函数f(x)=sin( x+ )图象上每一点的横坐标缩 短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象, 则f= . A.h(t)=-6sint+6 B.h(t)=-6cost+6 C.h(t)=-6sint+8 D.h(t)=-6cost+8 解析 设h(t)=Acos t+B( >0), ∵12 min旋转一周,∴=12,∴ =. 由题可知h(0)=2,∴A+B=2且A<0. 由于最大值与最小值分别为14,2, ∴解得 ∴h(t)=-6cost+8. A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin ∴ =-=-, 由P0,得cos =,sin =,解得 =. ∴y=sin. 1.将函数y=sin的图象上所有的点向左平移个单位长度,再把图象 上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象的解析式为 ( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 解析 向左平移个单位长度后得解析式为y=sin=sin, 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得解析式为y=sin, 故选B. 2.要得到y=sin 2x的图象,只需将函数y=sin的图象上所有点( ) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析 y=sin=siny=sin 2x.故选D. 3.函数y=sin在区间上的简图是( ) 解析 当x=0时,y=sin=-<0,故排除B,D; 当x=时,sin=sin 0=0,排除C.故选A. 4.将函数y=sin x图象上所有点向左平移 (0≤ <2 )个单位长度后,得到 函数y=sin的图象,则 = . 而sin=sin=sin,即 =. 解析 y=3sin xy=3siny=3sin. y=3sin xy=3sin y=3sin=3sin. 2x- 0 2 x y=2sin 0 2 0 -2 0 描点,连线得函数y=2sin在一个周期内的图象. 再将这部分图象向左或向右延伸k (k∈Z)个单位长度, 即可得函数y=2sin的图象. 首先将函数y=sin x的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数y=sin的图象,然后将该图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin的图象;最后将该图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,即可得到函数y=2sin的图象. $$