5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式第3课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章　三角函数 5.5.1　第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ 学习目标 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式(重点) 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明．(难点) 3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用．(易错点) ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 在我们接触到的事物中，带有一般性的事物总是大开大合，纵横驰骋，往往包含一切，而特殊的事物则是小巧玲珑，温婉和融，往往显出简洁，奇峻之美．三角函数的和(差)角的正弦、余弦、正切公式中的角都是带有一般性的，一般性中又蕴含着特殊性，即两角相等的情形，那么这些二倍角又有什么简洁，奇峻之美呢？ ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情境导入 由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α，tan2α的公式？ S(α±β) 令β=α ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究 由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α，tan2α的公式？ C(α±β) 令β=α ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究 T(α±β) 令β=α ★情德善孝 志勤专勇★ 由S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)是否能推导出sin2α, cos2α，tan2α的公式？ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究 总结：二倍角公式 左到右：升幂缩角； 右到左：降幂扩角 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 知识点 二倍角公式 三角函数 倍角公式 简记 正弦 sin 2α=　 　　　  S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=　　　　　　　=　　　　　　  C2α 正切 tan 2α=　　　　　　  T2α 2sin αcos α 2cos2α-1 1-2sin2α 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 左到右：升幂缩角； 右到左：降幂扩角 ★情德善孝 志勤专勇★ 名师点睛 1.二倍角的“广义理解”:二倍角是相对的,如4α是2α的二倍,α是 的二倍等.“倍”是描述两个数量之间的关系的,这里蕴含着换元思想. 2.对于S2α和C2α,α∈R,但是在使用T2α时,要保证分母1-tan2α≠0且tan α有意义, 3.一般情况下,sin 2α≠2sin α,cos 2α≠2cos α,tan 2α≠2tan α. 4.倍角公式的逆用更能拓展思路,我们要熟悉这组公式的逆用,如sin 3αcos 3α= sin 6α. 【例1】 求下列各式的值: ★情德善孝 志勤专勇★ 探究点一　利用二倍角公式解决给角求值问题 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 规律方法　给角求值问题的常见解法 (1)直接正用或逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知角进行转化,一般可以化为特殊角. (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. ★情德善孝 志勤专勇★ 探究点一　利用二倍角公式解决给角求值问题 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 变式训练1 求下列各式的值: ★情德善孝 志勤专勇★ 探究点一　利用二倍角公式解决给角求值问题 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究点二　利用二倍角公式解决条件求值问题 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 所以sin(2A+B)=sin 2Acos B+cos 2Asin B =2sin Acos Acos B+(2cos2A-1)sin B ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 规律方法　解决条件求值问题的方法 给值求值问题,注意寻找已知式与未知式之间的联系,有两个观察方向: (1)有方向地将已知式或未知式化简,使关系明朗化; (2)寻找角之间的关系,看是否适合相关公式的使用,注意常见角的变换和角之间的二倍关系. ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University A ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 探究点三　利用二倍角公式解决化简与证明问题 角度1.证明问题 证明 原式变形为1+sin 4θ-cos 4θ=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ).(*) (*)式右边=tan 2θ(1+sin 4θ+cos 4θ) =2sin 2θcos 2θ+2sin22θ=sin 4θ+1-cos 4θ=左边, ∴(*)式成立,即原式得证. ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 角度2.化简问题 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 规律方法　探究三角函数式化简、证明的常用技巧 (1)特殊角的三角函数与特殊值的互化; (2)对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分; (3)对于二次根式,注意倍角公式的逆用; (4)利用角与角之间的隐含关系,如互余、互补等; (5)利用“1”的恒等变形,如tan 45°=1,sin2α+cos2α=1等. ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 本节要点归纳 1.知识清单: (1)二倍角公式的推导. (2)利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明. 2.方法归纳:转化法、整体法. 3.常见误区:(1)化简求值开根号时,忽视角的范围; (2)逆用公式时易混淆系数和幂次的变化. ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 A.2sin 15°cos 15° B.cos215°-sin215° C.2sin215° D.sin215°+cos215° B ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 1 2 3 4 5 B ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 1 2 3 4 5 B ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 1 2 3 4 5 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 1 2 3 4 5 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 本 课 结 束 ★情德善孝 志勤专勇★ 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 即α≠(k∈Z)且α≠kπ+(k∈Z).当α=(k∈Z)时,tan 2α的值不存在;当α=kπ+(k∈Z)时,tan α的值不存在,故不能用二倍角公式求tan 2α,此时可以利用诱导公式直接求tan 2α. (2)原式=cos(2×750°)=cos 1 500°=cos(4×360°+60°)=cos 60°=. (3)原式=tan(2×150°)=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=-. (4)原式== . (1)sin cos ;(2)1-2sin2750°;(3);(4)cos 20°cos 40°cos 80°. 解 (1)原式=. (2)原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos . (1);(2)cos4-sin4. 解 (1)原式=×tan 45°=. 【例2】 [北师大版教材习题]在△ABC中,已知cos A=,sin B=, 求sin(2A+B),tan(A+2B). 解 因为cos A=>0,所以A<90°,所以sin A=. 因为sin B=<sin A,所以B<A<90°,所以cos B=. =2×+×+×. 因为tan A=,tan B=,所以tan 2B=. 所以tan(A+2B)==-. 变式训练2 已知sin α=,α∈,则cos的值为(　　) A. B. C. D. 解析 ∵sin α=,α∈, ∴cos α=, ∴sin 2α=2sin αcos α=2×,cos 2α=1-2sin2α=1-2×, ∴coscos 2α-sin 2α=.故选A. 【例3】 求证:. =(2cos22θ+2sin 2θcos 2θ) 【例4】 化简:. 解 ==sin x·=tan x. 证明 ∵左边= =(tan2A)2=tan4A=右边, ∴=tan4A. 解 原式==2. 变式训练3 (1)求证:=tan4A. (2)化简. 1.下列各式中,值为的是(　　) 解析 2sin 15°cos 15°=sin 30°=; cos215°-sin215°=cos 30°=; 2sin215°=1-cos 30°=1-; sin215°+cos215°=1.故选B. 2.已知tan α=-,则tan 2α的值为(　　) A. B.- C. D.- 解析 tan 2α==-. 3.cos4-sin4的值为(　　) A.0 B. C.1 D.- 解析 原式=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos.故选B. 4.=　　　　　.  2 解析 =2. 5.已知<α<π,cos α=-.求sin 2α+cos 2α的值. 解 因为cos α=-<α<π,所以sin α=, 所以sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=2cos2α-1=, 所以sin 2α+cos 2α=-=-. $$