5.2.1三角函数的概念课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章　三角函数 5.2.1　三角函数的概念 课 程 标 准 1.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值. 3.能利用三角函数的定义,理解正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 4.通过对任意角三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. －32° 1.初中学习的三角函数的概念. 在Rt△OMP中，∠OMP=90°，则 的正弦： 的余弦： 的正切： 2.初中学习的30°，45°，60°的正弦、余弦、正切值. α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 温故知新 3.上节可学习的弧度制 正实数 零 负实数 正角 零角 负角 任意角的集合 实数集R ↔ 在弧度制下，角的集合与实数集的一一对应，已经将角的范围扩展到了全体实数. 温故知新 如图，在单位圆O上的点P以A为起点作逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化. 如图， 以角的顶点O(单位圆的圆心)为坐标原点，以角的始边(射线OA)为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系. 则点A的坐标为(1,0).现设α的终边与单位圆的交点P为(x,y).射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. y x (1,0) (x,y) 新知探究 单位圆：半径r=1的圆 当时，点P的坐标是什么？当时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定吗？ 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标唯一确定吗？ y x (1,0) (x,y) 利用勾股定理可以发现，当时，点P的坐标是, 当时，点P的坐标为（0，1），当时，点P的坐标为. 对于任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标是唯一确定的,即为. 知识点1 三角函数的概念 知识点1 三角函数的概念 1.概念 前提 如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边 OP与　 　相交于点P(x,y)  定 义 正弦函数 把　　　　　　叫做α的正弦函数,记作sin α,即y=sin α 函数值y是角α的终边与所在单位圆交点的纵坐标  余弦函数 把　　 　　　叫做α的余弦函数,记作cos α,即　　　  正切 函数 把　　　　　　　　　　　　　　叫做α的正切,记作tan α,即　　　　　　　=tan α(x≠0即 α≠+kΠ（k∈Z))  三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 单位圆 点P的纵坐标y 点P的横坐标x x=cos α 三角函数以角为自变量 2.三角函数的解析式和定义域如下表所示 类型 解析式 定义域 正弦函数 y=sin x 　　   余弦函数 y=cos x 　　   正切函数 y=tan x   即角x的终边不能在y轴上 R R 注意这里的x，y不代表横纵坐标，代表自变量和函数值 探究点一　利用三角函数的定义求三角函数值 y x (x,y) 回归探究：求当时的正弦、余弦和正切值？ 当时，与单位圆相交于点点P的坐标为. sin α=，cos α=，tan α= 知识点1 三角函数的概念 1.概念 如图,设α是一个任意角，α∈R，若角α终边上一点P(x,y)(不与原点重合)不是单位圆上一点,则 y x (x,y) 三角函数的第二定义 过关自诊 1.三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关? 提示 三角函数值是比值,它的大小与点P在角α终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 过关自诊 2.[北师大版教材习题]已知角β的终边经过点M(-3,-1),则sin β=　　　　　, cos β=　　　　　.  探究点一　利用三角函数的定义求三角函数值 【例1】 求解下列各题: (1)若角α的终边与单位圆的交点是P (x≠0),则sin α=　　　　　　, cos α=　　　　 ,tan α=　　　　 ;  规律方法　利用三角函数的定义求一个角的三角函数值的几种情况 (1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x, (3)若已知角α终边上一点P(x,y)(不与原点重合)不是单位圆上一点,则先求 (4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论. (3)已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上,则cos α-sin α=　　　　　.  解析 ∵角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x≤0)上, 设终边上一点P(x,y),|OP|=r≠0(O为坐标原点). 不妨令x=-3,则y=-4, 知识点2 三角函数值的符号 sin α,cos α,tan α在各象限的符号如下: 记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦” 思考：终边在坐标轴上的三角函数值呢？ （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ＋ － -1 O x y O x y O x y 0 0 1 0 1 -1 0 0 不存在 0 不存在 ＋ － － － ＋ ＋ － － ＋ ＋ 名师点睛 正弦函数值的符号取决于角α终边上一点P(x,y)的纵坐标y的符号,点P在x轴上方为正,下方为负;余弦函数值的符号取决于点P横坐标x的符号,在y轴右侧为正,左侧为负;正切函数值符号取决于点P横、纵坐标符号,同号为正,异号为负. 探究点二　三角函数值符号的运用 【例2】 (1)若sin αtan α<0,且 <0,则角α是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 C 解析 由sin αtan α<0可知sin α,tan α异号,从而α为第二或第三象限角. 由 <0可知cos α,tan α异号,从而α为第三或第四象限角. 综上可知,α为第三象限角.故选C. (2)判断下列各式的符号: ①sin 105°cos 230°; 解 ∵105°,230°分别为第二、第三象限角, ∴sin 105°>0,cos 230°<0,∴sin 105°cos 230°<0. 规律方法　判断三角函数值在各象限符号的攻略 (1)基础:准确确定三角函数值中各角所在象限; (2)关键:准确记忆三角函数在各象限的符号; (3)注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误. 注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限的符号. 变式训练2 [北师大版教材习题]在单位圆中,确定下列三角函数值的符号: 解 (1)因为151°角的终边在第二象限,所以sin 151°>0. (4)因为271°角的终边在第四象限,所以cos 271°>0. 知识点3 诱导公式一 (1)语言表示:终边相同的角的　　　　三角函数的值相等.  (2)式子表示: ①sin(α+k·2π)=　　　 　,  ②cos(α+k·2π)=　　 　　,  ③tan(α+k·2π)=　　 　,其中k∈Z.  tan(α+k·π)=　　 　,其中k∈Z. 同一 sin α cos α tan α tan α 角的同一三角函数值相同 终边相同 终边与单位圆交点坐标相同 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(　　) (2)若两个角α,β的正弦值相等,那么α=β.(　　) √ × 2 探究点三　诱导公式一的应用 【例3】 求下列各式的值: (1)a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°); 解 原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2 tan(2×360°+45°)-2abcos(-3×360°) =a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0° =a2+b2-(a-b)2-2ab=0. 规律方法　诱导公式一的应用策略 (1)诱导公式一可以统一写成f(k·360°+α)=f(α)(k∈Z)或f(k·2π+α)=f(α)(k∈Z)的形式,它的实质是终边相同的角的同一三角函数值相等; (2)利用它可把任意角的三角函数值转化为0~2π范围内的角的三角函数值,以便实现把角大化小,负化正. 变式训练3 求下列三角函数值: 本节要点归纳 1.知识清单: (1)三角函数的定义及求法. (2)三角函数在各象限内的符号. (3)公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.方法归纳:转化与化归、分类讨论. 3.常见误区:(1)三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关; 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 2.若角α的终边过点(5,12),则cos α-sin α=(　　) C 1 2 3 4 5 3.(多选题)若sin θcos θ>0,则θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 AC 解析 因为sin θcos θ>0, 所以sin θ<0,cos θ<0或sin θ>0,cos θ>0, 所以θ是第一或第三象限角. 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 5.判断下列各式的符号: (1)tan 120°sin 269°; 解 ∵120°是第二象限角,∴tan 120°<0. ∵269°是第三象限角,∴sin 269°<0,∴tan 120°sin 269°>0. 本 课 结 束 更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ 点P的纵坐标与横坐标的比值 r=, sin α=,cos α=. tan α=. ± ± 解析 依题意,x2+=1,解得x=±, 于是sin α=,cos α=±,tan α==±. - - tan α=. r=,再求sin α=,cos α=. (2)已知角α的终边上有一点P(-,m),且sin α=m,求sin α,cos α的值. 解 由已知,得m=, 解得m=0或m=±. ①当m=0时,cos α=-1,sin α=0; ②当m=时,cos α=-,sin α=; ③当m=-时,cos α=-,sin α=-. ∴r=5,∴cos α==-,sin α==-, ∴cos α-sin α=-. ②cos 3tan. 解 ∵<3<π,∴3 rad是第二象限角,∴cos 3<0. 又-是第三象限角,∴tan>0,∴cos 3tan<0. (3)因为-的终边在第三象限,所以sin<0. (1)sin 151°;(2)cos;(3)sin;(4)cos 271°. (2)因为=2π+的终边在第三象限,所以cos<0. 解析 原式=sin+cos+tan =sin+cos+tan+1=2. 2.计算:sin+cos+tan=　　　　　.  (2)sin+costan. 解 原式=sin+costan =sin+costan×1=1. (2)cos=cos=cos=-. (3)tan(-330°)=tan(-360°+30°)=tan 30°=. (4)sinπ+cosπ=sin+cos=sin+cos=1. (1)sin 390°;(2)cos;(3)tan(-330°);(4)sinπ+cosπ. 解 (1)sin 390°=sin(360°+30°)=sin 30°=. (2)正切函数的定义域为. 1.已知角α的终边与单位圆交于点,则sin α的值为(　　) A.- B.- C. D. 解析 易知r=1,所以sin α=-.故选B. A. B. C.- D.- 解析 因为=13,所以cos α=,sin α=, 所以cos α-sin α=-,故选C. 4.sin+cos-tan=　　　　.  解析 原式=sin+cos-tan =sin+cos-tan-1=0. (2)cos 4tan. 解 ∵π<4<,∴4 rad是第三象限角,∴cos 4<0. ∵-=-6π+, ∴-是第一象限角,∴tan>0, ∴cos 4tan<0. $$