4.5.2用二分法求方程的近似解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 4.5.2　用二分法求方程的近似解 课 程 标 准 1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图. 2.能借助计算工具用二分法求方程近似解. 3.了解用二分法求方程近似解具有一般性. 【想一想】 你知道工人师傅是如何做到的吗？ 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10km长的线路大约有200多根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障排除了. 如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查. 每查一次，可以把待查的线段缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，只要7次就够了. 情境导入 （1）上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？ 提示:通过不断地把需要检测的范围一分为二进行检查. （2）工人师傅选择下次在哪个范围内爬电线杆子的关键是什么？ （3）如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？ 【思考】 提示:确定故障所在的范围，来确定爬哪根电线杆子. 提示:6次. 情境导入 a b 我们已经知道，函数 f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内存在一个零点, 进一步问题是，我们如何求出这个零点？ 一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。 为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围. 知识点 二分法 用二分法求方程lnx+2x-6=0在区间(2, 3)内的近似解(精确度0.1) f(2)=-1.3069<0, f(3)=1.09806>0, f(2)f(3)<0, 算得f(2.5)=-0.084<0, f (2.5)f(3)<0, 解:设f(x)= lnx+2x-6 , 原方程的近似解为x0 所以x0 ∈(2, 3)； 取区间(2,3)的中点x1=2.5, 所以x0∈(2.5, 3)； 取区间(2.5, 3)的中点x1=2.75, 从而x0 ∈ (2.5, 2.75)． 算得f(2.75)=0.512>0, f(2.5)f(2.75)<0, 由于(2 , 3) (2.5 , 3) (2.5 , 2.75) 所以零点的范围变小了. 如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小. 知识点 二分法 (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). (1)确定零点x0的初始区间[a,b], 验证f(a)f(b)<0; (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点；  ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;  ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.  根据下表计算函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内精确度为0.01的零点近似值？ 区间（a，b） 中点值c f(c)的值 精确度|a-b| （2，3） 2.5 -0.084 1 （2.5，3） 2.75 0.512 0.5 （2.5，2.75） 2.625 0.215 0.25 （2.5，2.625） 2.562 5 0.066 0.125 （2.5，2.562 5） 2.531 25 -0.009 0.0625 （2.531 25，2.562 5） 2.546 875 0.029 0.03125 （2.531 25，2.546 875） 2.539 062 5 0.01 0.015625 （2.531 25，2.539 062 5） 2.535 156 25 0.001 0.007813 因为|2.5390625-2.53125|=0.007813<0.01, 所以 x= 2.53125(或2.5390625) 为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。 知识点 二分法 1.定义:对于在区间[a,b]上　　　　　　　且　　 　　的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  图象连续不断 f(a)f(b)<0 2.用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下: (1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0; 所给区间端点处函数值异号是应用二分法求零点的前提条件 (2)求区间(a,b)的中点c; (3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间: ①若f(c)=0(此时x0=c),则c就是　　　　 　;  ②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令　　　;  ③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令　　　.  (4)判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). 函数的零点 b=c a=c (1)注意题目要求的精确度，它决定着二分法何时结束； (2)在第四步中，一般由|a－b|<ε取零点近似值为a或b. (3)只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零点左右函数值异号时,才能应用“二分法”求函数零点. 注意： [过关自诊]下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　) A 知识点 二分法 [过关自诊]用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时,经计算f(0.64)<0,f(0.72)>0, f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　) A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4 B 解析 由题意可知函数的零点在区间(0.68,0.72)内,四个选项中只有0.7满足|0.7-0.68|<0.1.故选B. 知识点 二分法 知识点 二分法 [过关自诊]已知函数f(x)=x3-x2+5在x∈[-2,-1]上有零点,用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时,至少需要进行　 次函数值的计算. 4 探究点一　二分法概念的理解 【例1】 (1)若二次函数f(x)=2x2+3x+m存在零点,且能够利用二分法求得此零点,则实数m的取值范围是　　　　.  (2)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下: f(2)≈-0.369 1　　 f(2.5)≈0.334 0 f(2.25)≈-0.011 9 f(2.375)≈0.162 4 f(2.312 5)≈0.075 6 f(2.281 25)≈0.031 9 则方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度0.1)可以为(　　) A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4 C 解析 由参考数据可知f(2.25)f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1, 所以当精确度为0.1时,可以将x=2.3作为函数f(x)=log3x+x-3零点的一个近似值,也即为方程x-3+log3x=0的一个近似解. 规律方法　1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二,逐步逼近零点的方法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点. 2.只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 变式训练1 (1)下列函数中不能用二分法求零点的是(　　) A.f(x)=2x+3 B.f(x)=ln x+2x-6 C.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=2x-1 C 解析 因为f(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0, 所以在零点的左右两侧函数值同号,不能用二分法求其零点,故选C. (2)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的唯一零点近似值时,已知f(2)f(4)<0,取区间(2,4)的中点x1= =3,计算得f(2)f(x1)<0,则函数零点所在的区间是(　　) A.(2,4) B.(2,3) C.(3,4) D.无法确定 B 解析 由f(2)f(4)<0,f(2)f(3)<0知f(3)f(4)>0. 故函数零点所在的区间是(2,3). 探究点二　用二分法求函数的零点的近似值 【例2】 求函数f(x)=x2-5的负零点的近似值(精确度0.1). 解 由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间[-3,-2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算,列表如下: 零点所在区间 中点的值 中点函数值(近似值) (-3,-2) -2.5 1.25 (-2.5,-2) -2.25 0.062 5 (-2.25,-2) -2.125 -0.484 4 (-2.25,-2.125) -2.187 5 -0.214 8 (-2.25,-2.187 5) -2.218 75 -0.077 1 由于|-2.25-(-2.187 5)|=0.062 5<0.1,所以函数的一个近似负零点可取-2.25. 规律方法　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则及求解流程图 (1)依据图象估计零点所在的初始区间[m,n](这个区间既要包含所求的解,又要使其长度尽可能地小,区间的端点尽量为整数). (2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(m,c)还是(c,n),逐步缩小区间的“长度”,直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确度),才终止计算,得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采用列表法). 探究点三　转化与化归思想在二分法中的应用 以下用二分法求其零点的近似值. 由于f(1)=-1<0,f(2)=6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间. 用二分法逐次计算,列表如下: 零点所在区间 中点的值 中点函数值(近似值) (1,2) 1.5 1.375 (1,1.5) 1.25 -0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 625 0.027 3 (1.25,1.265 625) 1.257 812 5 -0.010 0 (1.257 812 5,1.265 625)     由于区间(1.257 812 5,1.265 625)的长度为 1.265 625-1.257 812 5=0.007 812 5<0.01, 规律方法　1.求根式的近似值,实质上就是将根式转化为方程的无理根,再转化为函数的零点,通过二分法求解. 2.二分法思想的实质是一种逼近思想,所求值与近似值间的差异程度取决于精确度ε. 探究点四　二分法的实际应用 【例4】 现有12个小球,从外观上看完全相同,除了1个小球质量不合标准外,其余的小球质量均相同,用同一架天平(无砝码),限称三次,把这个“坏球”找出来,并说明此球是偏轻还是偏重.如何称? 解 先在天平左右各放4个球.有两种情况: (1)若天平平衡,则“坏球”在剩下的4个球中. 取剩下的4个球中的3个球放天平的一端,取3个好球放天平的另一端, ①若仍平衡,则“坏球”为4个球中未取到的那个球,将此球与1个好球放上天平比一比,即知“坏球”是轻还是重; ②若不平衡,则“坏球”在天平一端的3个球之中,且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端,无论平还是不平,均可确定“坏球”. (2)若不平衡,则“坏球”在天平上的8个球中,不妨设天平右端较重. 从右端4个球中取出3个球,置于一容器内,然后从左端4个球中取3个球移到右端,再从外面好球中取3个补到左端,看天平,有三种可能. ①若平衡,则“坏球”是容器内3个球之一且偏重; ②若左端重,“坏球”已从左端换到右端,因此,“坏球”在从左端移到右端的3个球中,并且偏轻; ③若右端重,据此知“坏球”未变动位置,而未被移动过的球只有两个(左右各一),“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重). 显然对于以上三种情况的任一种,再用天平称一次,即可找出“坏球”,且知其是轻还是重. 规律方法　二分法在实际问题中的应用 二分法的思想在实际生活中的应用十分广泛,在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用,当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用. 变式训练3 在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一架天平,则应用二分法的思想,最多称　　　　　次就可以发现这枚假币.  3 解析 从26枚金币中取18枚,将这18枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,(1)若天平不平衡,则假币一定在质量小的那9枚金币里面.从这9枚金币中拿出6枚,然后将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定在剩下的那3枚金币里;若不平衡,则假币一定在质量小的那3枚金币里面,从含有假币的3枚金币里取两枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.(2)若天平平衡,则假币在剩下的8枚金币里,从这8枚金币中取6枚,将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,假币在剩下的两枚里,将这两枚金币放在天平两端,质量小的为假币.若天平不平衡,假币在质量小的3枚里.在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右两端,即可找到假币.综上可知,最多称3次就可以发现这枚假币. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)二分法的定义. (2)利用二分法求函数零点、方程近似解的步骤. (3)二分法在实际问题中的应用. 2.方法归纳:转化与化归、二分法. 3.常见误区:二分法并不适用于求所有零点,只能用于求函数的变号零点. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数及可以用二分法求其零点的个数分别为(　　) A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3 D 解析 由题图知函数f(x)与x轴有4个公共点,因此零点个数为4,从左往右数第4个公共点横坐标的左右两侧的函数值同号,因此不能用二分法求该零点,而其余3个均可使用二分法来求.故选D. 1 2 3 4 5 2.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|<ε(ε为精确度)时,函数零点的近似值x0= 与真实零点的误差最大不超过(　　) B 1 2 3 4 5 3.用二分法求函数f(x)=-x3-3x+5的近似零点时的初始区间是(　　) A.(1,3) B.(1,2) C.(-2,-1) D.(-3,-2) B 解析 ∵f(1)=1,f(2)=-9,f(-1)=9,f(-2)=19,f(3)=-31, ∴f(1)f(2)<0. 又函数f(x)=-x3-3x+5的定义域为R, 故f(x)的一个零点的近似值所在的初始区间为(1,2). 1 2 3 4 5 4.[2023山东潍坊期末]已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[a,b],都有(x1-x2) (f(x1)-f(x2))>0,且f(a)f(b)<0.在用二分法寻求零点的过程中,确定了零点x0所在区间依次为[a,b], ,则b-a=　　　　　;若x0的近似值的精确度小于0.001时,一共至少需要进行　　　　　次区间中点函数值的计算.  4 12 1 2 3 4 5 ∴b-a=4. 设需要进行k次区间中点函数值的计算, ∴一共至少需要进行12次区间中点函数值的计算. 1 2 3 4 5 5.用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值(精确度为0.1).(参考数据:1.3753≈2.600,1.312 53≈2.261) 1 2 3 4 5 解 利用二分法, 故零点在(1.25,1.5)内,此时1.5-1.25=0.25>0.1. 又f(1.375)>0,所以零点在区间(1.25,1.375)内, 此时1.375-1.25=0.125>0.1. 又f(1.312 5)<0,所以零点在区间(1.312 5,1.375)内, 此时1.375-1.312 5=0.062 5<0.1, 故f(x)=x3-x-1在区间(1,1.5)内的一个零点的近似值是1.312 5. 本 课 结 束 解析 设对区间[-2,-1]二等分n次,初始区间长度为1, 第1次计算后区间长度为; 第2次计算后区间长度为=0.25; 第3次计算后区间长度为=0.125; 第4次计算后区间长度为=0.062 5. 故至少计算4次. 解析 由题意知,Δ=9-8m>0,即m<. 【例3】 求的近似值(精确度0.01). 解 设x=,则x3-2=0.令f(x)=x3-2, 则函数f(x)零点的近似值就是的近似值. 所以的近似值可以取1.265 625. A. B. C.ε D.2ε 解析 由,知误差最大不超过. ,, 解析 由题意得解得 则×4<0.001,解得k>11, f(1)=-1<0,f(1.5)=-1=>0, f(1.25)=-1<2--1=-<0, $$