4.1指数课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 ，那么叫做的平方根，，那么叫做的立方根， 问题1：初中我们就已经学习过平方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？ 问题2：一个数的平方根有几个？立方根有几个？ 一个数的平方根有2个，立方根有1个 复习导入 n次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且 是奇数 是偶数 正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 正数的次方根有两个， 这两个数互为相反数，负数没有偶次方根 例如：， 例如：，， 注：①负数没有偶次方根（类比负数无平方根）； ②的任何次方根都是， 新知探究 n次方根 根式的定义：式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被 开方数. 问题1：一定成立吗？ 不一定，例如： 问题2：一定成立吗？ 一定成立，注意其中n为偶数时， 新知探究 先乘n次方再开n次方看奇偶，先开n次方再乘n次方取本身 名师点睛 1.在n次方根的概念中,关键是数a的n次方根x满足xn=a,因此求一个数a的n次方根,就是求一个数x使得这个数的n次方等于a. 2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广. 3.n次方根的概念表明,乘方与开方是互逆运算. 过关自诊 提示 不是,当n为大于1的奇数时,a∈R;当n为大于1的偶数时,a≥0. 6或-2x 解析 原式=|x+3|-(x-3), 当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x. 探究点一　根式的概念 【例1】 (1)27的立方根是　　　　;16的4次方根是　　 　.  3 ±2 (2)已知x6=17,则x=　　 　.  [-3,+∞) 规律方法　根式概念问题应关注的两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数; (2)n为奇数时,被开方数a的正负决定着n次方根的符号. 变式训练1 已知a∈R,n∈N*,给出下列4个式子: A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 A 探究点二　根式的化简(求值) 【例2】 求下列各式的值: 解 原式=a-b+b-a=0. ∵-3<x<3, ∴当-3<x<1时,原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;当1≤x<3时,原式=(x-1)-(x+3)=-4. 解 由例题解析可知原式=|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故原式=-(x-1)-[-(x+3)]=4. 变式探究 (1)该例中的 ,若x<-3呢? 问题3：若，试化简，， ① ② ③ 追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？ 当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时例如①中被开的指数10能被根指数5整除，根式可以表示为分数指数幂的形式. 新知探究 分数指数幂 也可称为有理指数幂 问题4：若根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？ 追问2：观察上述式子，你能发现什么规律吗？ 分子为被开方数的指数，分母为根指数 新知探究 分数指数幂 也可称为有理指数幂 （1） （2） 回顾：正整数指数幂，零指数幂=1， 对于任意正数a,b和实数r,s,指数幂均满足下面的运算性质: (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈R); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R). (4)ar÷as=ar-s(a>0,r,s∈R); 负整数指数幂a-n= . 新知探究 分数指数幂 也可称为有理指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义: 2.正数的负分数指数幂的意义: 3.0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.（0不可作为分母） 规定了分数指数幂的意义以后,幂ax中指数x的取值范围就从整数拓展到了有理数. 例如 没有意义 追问3：（过关自检）分数指数幂定义和运算法则中为何要求？ 名师点睛 2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数. 3.我们可以类似得出:一般地,给定正数a,对任意无理数α,aα都是一个确定的实数.同理规定a-α= . 这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数. 过关自诊 1.[人教B版教材例题]计算下列各式的值: 过关自诊 分数指数不能随意约分，因为约分之后可能会改变根式有意义的条件 3.[北师大版教材例题]把下列各式中的正数b写成正分数指数幂的形式: (1)b5=20;(2)b4=25;(3)bn=3m(m,n∈N*);(4)b3n=π9m(m,n∈N*). 探究点三　分数指数幂的简单计算 【例3】 计算: 规律方法　1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式. 2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数. 变式训练2 计算: 探究点四　条件求值 【例4】 [北师大版教材习题]已知x+x-1=3(x>0),求下列各式的值: 规律方法　解决条件求值问题的一般方法——整体法 对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.当字母的取值未知或不易求出时,可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值. 解 ∵x+y=12,xy=9, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)n次方根. (2)正分数指数幂和负分数指数幂. (3)指数幂的运算性质. 2.方法归纳:转化法、整体代换. 3.常见误区:(1)0的任意负实数指数幂没有意义; (2)在运用分数指数幂的运算性质化简时,其结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既含有分母又含有负指数. 01 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 C 1 2 3 4 5 6 A.5-2a B.2a-5 C.1 D.-1 C 解析 ∵2<a<3,∴a-2>0,a-3<0, 1 2 3 4 5 6 D 1 2 3 4 5 6 4.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为(　　) A.15 B.17 C.35 D.37 B 1 2 3 4 5 6 3 7 x+x-1=3两边平方,得x2+x-2+2=9,所以x2+x-2=7. 1 2 3 4 5 6 更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ 本 课 结 束 1.()n中实数a的取值范围是任意实数吗? 2.()n与的含义一样吗? 提示 不一样.是对实数a先求n次方根,再对其进行n次方运算, 即先进行开方运算,再进行同次的乘方运算,且当n为任意正整数时, =a. 表示先求a的n次方,再对其进行n次方根运算, 即先乘方再进行同次的开方运算,且当n为奇数时,=a; 当n为偶数时,=|a|. 3.化简得　　　　　.  (3)若有意义,则实数x的取值范围为　　　　　　　　　.  解析 要使有意义,则x需满足x+3≥0,即x≥-3. ± 解析 27的立方根是=3,16的4次方根为±=±2. 解析 由根式的定义可得x=±. ①;②;③;④.其中无意义的有(　　) (1)()5+()6(b>a); (2)(-3<x<3). 解 原式==|x-1|-|x+3|. ∴原式= (2)(-3<x<3). 规律方法　(1)化简时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据 根式的性质进行化简;化简()n时,前提是有意义,只要有意义,则()n=a. (2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数 的取值范围,即确定中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果. (5)r=(a>0,b>0,r∈R). (a>0,m,n∈N*,n>1). (a>0,m,n∈N*,n>1). 1.分数指数幂不可理解为个a相乘,它是根式的一种写法. 解 ×12×(53=25. (1); (2)×12. 解 =[(310×(32=31=3. 解析 . 1.一定相等吗? 2.(a>0)化为根式的形式为　　　　　.  提示 不一定.当a≥0时,;当a<0时,两者不相等, 如a=-4时,=(-4=2,而=(-4,无意义. 解 (1)b=2;(2)b=;(3)b=;(4)b=. 解 . 解 0.00=(0.23=0.2-2==52=25. 解 . (1); (2)0.00; (3); 解 =-. 解 原式=(0.43-1+2-4+(24+(0.12=0.4-1-1++0.1=. (4)(x>0); (5); (6)0.06+(23+16-0.75+. 解 原式==x. 解 原式=2÷·=·3. (1)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)(a>0,b>0,c≠0); (2)2÷(4)·3(a>0,b>0). 解 原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)=()3+()3=()(x-+x-1)=×(3-1)=2. (4)=()3-()3=()(x++x-1)=±4. (1); (2); (3); (4). 解 (1)因为()2=x+2+x-1=3+2=5,所以. (2)因为()2=x-2+x-1=3-2=1,所以=±1. 常用的变形公式:①a±2+b=2; ②a-b=()(); ③=()(a-+b); ④=()(a++b).(其中a>0,b>0) 变式训练3 已知x+y=12,xy=9,且x<y,求的值. ∵x<y,∴x-y=-6. ∴==-. 1.=(　　) A.- B.- C. D. 解析 ==-1=,故选C. 2.若2<a<3,化简的结果是(　　) ∴=|2-a|+|3-a|=a-2+3-a=1. 3.化简=(　　) A. B. C. D. 解析 因为.故选D. 解析 原式=-(10-2-(-1)-1+1=-10+52+1+1=17. 5.若正数x满足=1,则x+x-1=　　　　　;x2+x-2=　　　　　.  解析 将=1两边平方,得x+x-1-2=1,则x+x-1=3. 6.计算-()0. 解 原式=-1=-1=. $$