3.3幂函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质 3.3　幂函数 课 程 标 准 1.通过具体实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式. 2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y= 的图象,理解它们的变化规律. 3.能利用幂函数的基本性质解决相关的实际问题. 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. （1）如果张宏以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数; （2）如果正方形的边长为,那么正方形的面积,这里是的函数; （3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积,这里是的函数; （4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长,这里是的函数; （5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度,即,这里是的函数. （1）; （2）; （3）; （4），即=; （5）,即. 活动1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征. 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数. 知识点1 幂函数的定义 一般地,函数　　　　叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.  α可取任意实数,但现在只研究α为有理数的情形 名师点睛 幂函数的特征 (1)xα的系数为1; (2)xα的底数是自变量x,指数α为常数; (3)项数只有一项. 符合以上三个特征的函数才是幂函数. y=xα 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数f(x)=x2与函数f(x)=-x2都是幂函数.(　　) (2)所有二次函数都是幂函数.(　　) 2.下列所给的函数中是幂函数的为(　　) A.y=2x5 B.y=x3+1 C.y=x-3 D.y=3x × C × 探究点一　幂函数的概念 【例1】 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,试确定m的值. 解 根据幂函数的定义,得m2-m-5=1, 解得m=3或m=-2. 当m=3时,f(x)=x2在区间(0,+∞)上单调递增; 当m=-2时,f(x)=x-3在区间(0,+∞)上单调递减,不符合要求.故m=3. 变式训练1 如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点,求实数m的取值. 解 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0, 其图象不过原点,满足条件. 综上所述,m=1或m=2. 活动2：研究幂函数的图象画法. 活动3：证明的的图象画法. 知识点2 幂函数的性质与图象 1.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=x-1的图象如下图所示. 思考：结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？ 定义域、图象、值域、单调性、奇偶性 2.幂函数的性质 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R 　 　  (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R 　　   R 　　   (-∞,0)∪(0,+∞) 奇偶性 　 　 　  　　 　  奇函数 既不是奇函数,也不是偶函数 　　 　  单调性 在R上单调递增 在[0,+∞) 上单调递增,在(-∞,0]上单调递减 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调递增 在(0,+∞)上单调递减,在(-∞, 0)上单调递减 公共点 (1,1) [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) 奇函数 偶函数 奇函数 思考：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有 幂函数的图象？这些函数有公共点吗？ 幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限 恒过定点(1,1)当时，还会过（0,0） 幂函数的图像特点： （1）过定点（1,1），当时，还会过（0,0）； （2）幂函数的图象一定会在第一象限，一定不在第四象限； （3）当时，函数在区间上是增函数； （4）当时，函数在区间上是减函数； （5）在x∈时，指数越大，幂函数图象越靠近轴（指大图先低）； （6）在x∈时，指数越大，幂函数图象越远离轴（指大图后高）； 过关自诊 1.如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,± 四个值,则曲线C1,C2,C3,C4对应的n依次为(　　) B 解析 根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象, 当n>0时,n越大,y=xn递增速度越快, 探究点二　幂函数的图象 【例2】 下列关于函数y=xα与y=αx 的图象正确的是(　　) C 解析 函数y=xα是幂函数,而y=αx是一次函数. 选项A,直线对应函数为y=x,曲线对应函数为y=x-1; 选项B,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y= ; 选项C,直线对应函数为y=2x,曲线对应函数为y=x2; 选项D,直线对应函数为y=-x,曲线对应函数为y=x3,故C正确. 探究点三　利用幂函数的单调性比较大小 【例3】 比较下列各组中两个数的大小: 规律方法　1.比较幂大小的三种常用方法 2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小. 变式训练3 比较下列各组数的大小: 探究点四　幂函数性质的综合应用 【例4】 函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,则实数m为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-1或2 B 解析 ∵函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数, ∴可得m2-m-1=1,解得m=-1或2. 当m=-1时,m2+m-1=-1,函数y=在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意, 当m=2时,m2+m-1=5,函数y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B. 变式训练4 [2023湖南常德期末]已知幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4). (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数h(x)=2f(x)-kx-1在区间[-1,1]上是单调函数,求实数k的取值范围. 解 (1)因为幂函数f(x)=xa的图象过点(2,4),代入解析式有4=2a,解得a=2. 所以函数f(x)=x2. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳:待定系数法、数形结合法. 3.常见误区:(1)对幂函数形式的判断易出错,只有形如y=xα(x是自变量,α为常数)的函数为幂函数,其他形式都不是幂函数; (2)对于幂函数的图象,一般只考虑第一象限的情况,忽略其他象限可能的情形. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4),则k+α等于(　　) D 解析 ∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2,4), ∴k-1=1,2α=4,∴k=2,α=2.∴k+α=4,故选D. 1 2 3 4 2.下列函数是幂函数且在(0,+∞)上单调递减的是(　　) D 1 2 3 4 1 2 3 4 4.[2023山西大同期末]已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数. (1)求 的值; (2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值. 解 (1)因为f(x)是幂函数,所以m2-5m+7=1得m=2或3. 当m=2时,f(x)=x-3是奇函数,所以不满足. 当m=3时,f(x)=x-4,满足题意, (2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|, 本 课 结 束 更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ A.-2,-,2 B.2,,-,-2 C.-,-2,2, D.2,,-2,- 故曲线C1对应的n=2,曲线C2对应的n=; 当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭, 所以曲线C3对应的n=-,曲线C4对应的n=-2,故选B. (1); 解 ∵幂函数y=在[0,+∞)上单调递增, 又,∴. (2). 解 ∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减, 又-<-,∴. 解 因为函数y=在区间(0,+∞)上为减函数,又3<3.1,所以>3.. 解 因为-=-,函数y=在区间(0,+∞)上单调递增, 又,则,从而-<-. (3)4.,3.和(-1.9. 解 因为4.=1,0<3.=1,(-1.9<0,所以(-1.9<3.<4.. (1)和3.; (2)-和-; (2)h(x)=2f(x)-kx-1=2x2-kx-1,函数h(x)图象的对称轴为直线x=-. 因为h(x)在[-1,1]上是单调函数, 所以≤-1或≥1,解得k≤-4或k≥4, 所以实数k的取值范围为(-∞,-4]∪[4,+∞). A. B.3 C. D.4 A.y=x2 B.y= C.y=x+x-1 D.y= 解析 函数y=x2是幂函数,在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 函数y=是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 函数y=x+不是幂函数,不合题意; 函数y=是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,符合题意.故选D. 3.已知幂函数的图象经过点A,B(m,16),则m=　　　　　.  解析 由题意,设f(x)=xα,由题意f(2)=2α=,故α=-2,故f(m)=m-2=16,所以m=. f 所以函数f(x)的解析式f(x)=x-4,所以f=-4=16. 即2a+1=a或2a+1=-a,解得a=-1或a=-. $$