3.2.2奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质 3.2.2　奇偶性 课 程 标 准 1.结合具体函数理解奇函数、偶函数的定义. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征. 3.会判断(或证明)函数的奇偶性. “对称美”是自古以来中国的一种审美形式，实际生活中、传统文化里、自然界中对称的例子比比皆是，体现着“对称美”！ 【探究】哪些图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？ 新课引入 图象关于y轴对称 5 5 在平面直角坐标系中，作出函数 和 的图象，并观察这两个函数图象，总结出它们的共同特征。 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)= x2 g(x)=2-|x| 不妨取自变量的一些特殊值，填写表格，观察相应函数值的情况： 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)相等. 9 4 1 0 1 4 9 -1 0 1 2 1 0 -1 类比函数的单调性,你能用符号语言精确描述“函数图像关于y轴对称”的这种特征吗？（自变量与函数值之间的变化关系？） f(－x)=f(x 5 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 知识点1 偶函数的定义与图像特征 图像特征：偶函数的图象关于y轴对称;反之,结论也成立,即图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 6 函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？ 函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？ 是偶函数 不是 偶函数 偶函数定义中要求∀x∈I，都有－x∈I -x、x必须同时属于定义域,即偶函数定义域需关于原点对称 7 观察函数 和 的图象，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？ 图象关于原点中心对称 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)= x 为了用数学符号语言描述这一特征，不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： 可以发现，当自变量x取一对相反数时，相应的函数值f(x)也是一对相反数. -3 -2 -1 0 1 2 3 f(－x)-f(x 9 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 知识点2 奇函数的定义与图像特征 图像特征：奇函数的图象关于原点对称;反之,结论也成立,即图象关于原点对称的函数一定是奇函数. 若奇函数f(x)在x=0处有定义,则必有f(0)=0 思考：是否函数为奇函数一定有f(0)=0？ 不一定，例如f(x)=在x=0处无定义，f(0)不存在 10 函数f(x)=x, x∈[-2,2]是奇函数吗？ 是奇函数 函数g(x)=x, x∈[-1,3]是奇函数吗？ 定义域不关于原点对称，不是奇函数 类比偶函数定义，奇函数定义中也有∀x∈I，都有－x∈I 因此，奇函数定义域也需关于原点对称 11 对函数奇偶性定义的理解 1.函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的,而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的,从这个意义上讲,函数的单调性属于“局部性质”,而函数的奇偶性则属于“整体性质”，判断函数的奇偶性应先明确它的定义域. 2.无论是奇函数还是偶函数，其定义域都一定关于原点对称. 探究点一　判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性: (2)f(x)=x3-2x; 解 函数的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 解 函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 规律方法　判断函数奇偶性的两种方法 (1)定义法: (2)图象法: 解得-1≤x<1,即函数的定义域为[-1,1),不关于原点对称, 所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 解 f(x)的定义域是R,关于原点对称， 又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x), 所以f(x)是偶函数. 变式训练1 判断下列函数的奇偶性: 【例2】 已知f(x)为R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)的解析式. 解 设x<0,则-x>0,此时f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=-2x2-3x+1(x<0), 探究点二　利用函数的奇偶性求解析式 规律方法　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x). 提醒:若函数f(x)的定义域包含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0. 变式探究 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1. (1)求f(-1); (2)求f(x)的解析式. 解 (1)因为函数f(x)为奇函数, 所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2. (2)设x<0时,则-x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x), 所以f(x)=2x2+3x-1,x<0.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0. 本 课 结 束 探究3 奇、偶函数单调性与最值 【例3】 已知函数f(x)=在上有定义其中0<a<b，若f(x)在上的最大值为7，最小值为4，求f(x)在上的单调性与最大值、最小值. 偶函数在其对称区间上的单调性相反;偶函数f(x)在区间[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值. 探究3 奇、偶函数单调性与最值 【例3】 已知函数f(x)=在上有定义其中0<a<b，若f(x)在上的最大值为7，最小值为4，求f(x)在上的单调性与最大值、最小值. 奇函数在其对称区间上的单调性相同;若奇函数f(x)在区间[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,则f(x)在区间[-b,-a]上的最大值为-m,最小值为-M. 探究点4　奇偶函数性质的应用 角度1.奇偶函数的图象性质 已知f(x)为奇函数,其局部图象如图所示,那么(　　) A.f(2)=2 B.f(2)=-2 C.f(2)>-2 D.f(2)<-2 C 规律方法　由于奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,因此根据奇、偶函数图象的对称性可以解决如求函数值或画出奇偶函数图象的问题. 角度2.利用奇偶函数的性质求解析式中的参数 【例4】 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数,定义域为[3a,a+2],则a+b=　　　　　.  规律方法　利用奇偶性求参数的方法: (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数. (2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数即可求解. 变式训练3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=　　　　　.  4 解析 f(x)=x2+(a-4)x-4a, ∵f(x)是偶函数,∴a-4=0,即a=4. 0 当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,符合题意,故a+b=0. 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇+偶=非奇非偶 奇-偶=非奇非偶 注： 同性加减奇偶不变，异性加减非奇非偶 同性乘除为偶，异性乘除为奇 已知g（x）=x）+（x） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 奇函数÷奇函数=偶函数 偶函数÷偶函数=偶函数 奇函数÷偶函数=奇函数 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(　　) A.-1 B.1 C.0 D.2 A 解析 因为一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}, 根据奇函数的定义域关于原点对称, 所以a与b有一个等于1,一个等于-2, 所以a+b=1+(-2)=-1. 1 2 3 4 2.(多选题)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是(　 　) ABD 解析 根据定义域知选项A符合题意,根据奇偶性的定义可知选项BD符合题意,选项C是偶函数. 1 2 3 4 3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中不一定正确的是(　　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x) C.f(x)f(-x)≤0 D 解析 f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),所以A,B,C均正确. 1 2 3 4 4.已知函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x. (1)求出函数f(x)在R上的解析式; (2)画出函数f(x)的图象. 1 2 3 4 解 (1)①当x=0时,f(0)=0; ②当x<0时,-x>0,∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. (1)f(x)=; 解 根据题意,f(x)=(x-1),必有 所以f(x)的解析式为f(x)= 所以f(x)的解析式为f(x)= - 解析 因为函数是偶函数,所以定义域关于原点对称,则3a+a+2=0,解得a=-. 所以f(x)=ax2+2bx+4a+b=-x2+2bx-2+b. 因为偶函数图象关于y轴对称,则-=0,解得b=0,所以a+b=-+0=-. 解析 由题意知所以 (2)已知函数f(x)=为奇函数,则a+b=　　　　　.  A.y=x2(x>0) B.y=|x+1| C.y= D.y=3x-1 D.=-1 只有f(-x)≠0时,才有=-1,D不正确. 综上,f(x)= (2)函数f(x)=的图象如下图所示, $$