3.2.1函数的最大(小)值第二课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质 3.2.1　第2课时　函数的最大(小)值 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ 函数f(x)=x2的图象有一个最低点(0，0) 即对于任意的x∈R，都有f(x)≥ f(0) 最小值 存在=0，使得ƒ()=0. 对任意的 都有ƒ(x) 0. 思考1：函数f(x)=图象上最低点为？则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与f(0)的大小关系如何？ 一、新课导入 思考2：设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？ f(x)≤M M=ƒ(0)=1 O 1 2 存在=0，使得ƒ()=1. 对任意的 都有ƒ(x)≤1. 最大值 函数 最大值 最小值 条件 设y=f(x)的定义域为I，若存在实数M满足： ∀x∈I，都有f(x)≤M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. ∀x∈I，都有f(x)≥M; ∃x0∈I，使得f(x0)=M. 结论 M是y=f(x)的最大值 M是y=f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最大(小)值必须是一个确定的函数值，且为值域中的一个元素. 无最小值 ②求函数的最值应先判断单调性(图象/定义/观察(复合)). 知识点 函数的最大(小)值的定义 函数的最值与其定义域息息相关 若y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)的值域是[f(a),f(b)]; 若y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数y=f(x)的值域是[f(b),f(a)]. 1.函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是 (　　) A.f(-2),0 B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 C 解析 由图象可知,在[-2,2]上,此函数的最小值是f(-2),最大值是2. 探究点一　利用函数的图象求函数的最值 2.请根据函数图象直观判断下列函数在给定区间上的单调性,并求出它们的最值: (1)y=-5x,x∈[2,7]; (2)f(x)=3x2-6x+1,x∈[3,4); (3)f(x)=|x2-2x|,x∈[-1,3]. 解 (1)一次函数y=-5x的图象是一条直线,在[2,7]上单调递减, 当x=2时,y=-5x取得最大值-10,当x=7时,y=-5x取得最小值-35. (2)二次函数f(x)=3x2-6x+1=3(x-1)2-2的图象是抛物线,开口向上,对称轴是直线x=1,在[3,4)上单调递增, 当x=3时,f(x)=3x2-6x+1取得最小值f(3)=3×32-6×3+1=10,函数无最大值. 画出f(x)在x∈[-1,3]内图象(图略). 可知f(x)在[-1,0],[1,2]上单调递减,在(0,1),(2,3]上单调递增, 当x=-1或3时,f(x)=|x2-2x|取得最大值3, 当x=0或2时,f(x)=|x2-2x|取得最小值0. 规律方法　图象法求最值的基本步骤 (1)画出f(x)的图象; (2)根据图象写出该函数的最大值和最小值. 解 (1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值. 探究点二　利用函数的单调性求最值 【例2】 已知函数f(x)=x+ . (1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性; (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值. 解 (1)∀x1,x2∈[1,2],且x1<x2, ∵x1<x2,∴x1-x2<0.当1≤x1<x2≤2时,x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),即f(x)在区间[1,2]上单调递减. (2)由(1)知f(x)在区间[1,2]上的最小值为f(2),f(2)=2+2=4; f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1). ∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值为4,最大值为5. 变式探究 例2已知条件不变,判断f(x)在区间[1,3]上的单调性,并求f(x)在区间[1,3]上的最值. 当1≤x1<x2≤2时,f(x1)>f(x2),f(x)在区间[1,2]上单调递减; 当2≤x1<x2≤3时,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在区间[2,3]上单调递增. 规律方法　1.利用单调性求函数最值的一般步骤: (1)判断函数的单调性; (2)利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系: (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),在区间(b,c]上单调递减(增),则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个. 探究点三　与函数最值有关的综合问题 角度1.利用函数的最值解决恒成立问题 【例3】 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 解 x2-x+a>0可化为a>-x2+x. 设f(x)=-x2+x, 要使a>-x2+x对任意x∈(0,+∞)恒成立, 只需a>f(x)max,当x∈(0,+∞)时, 规律方法　对任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为f(x)min>a来解决.对任意x∈D,f(x)<a恒成立,一般转化为f(x)max<a来解决. 若f(x)≥a2恒成立,则a的取值范围是　　　 　　.  1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当且仅当x=1时,等号成立.所以f(x)的最小值为1. 当x≤0时,f(x)≥a2,即(x-a)2≥a2,即x(x-2a)≥0恒成立, 所以x-2a≤0恒成立,即2a≥x恒成立,所以2a≥0,即a≥0. (2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立. 记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 因为y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增, 故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a. 所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立, 所以实数a的取值范围为(-3,+∞). 角度2.与最值有关的实际应用问题 【例4】 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元.(年利润=年销售总收入-年总投资) (1)求y与x的函数关系式. (2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少? 解 (1)当0<x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100; 当x>20时,y=260-100-x=160-x. (2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,x=16时,y取最大值156. 而当x>20时,160-x<140. 故当该工厂年产量为16件时,取得最大年利润为156万元. 规律方法　解函数应用题的一般程序 (1)审题.弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2)建模.将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模.求解数学模型,得到数学结论. (4)还原.将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. (5)反思回顾.对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用图象法、单调性求函数的最值. (2)与最值有关的恒成立问题. (3)与最值有关的实际应用问题. 2.方法归纳:数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区:在求函数的最值(值域)时,一定注意函数的定义域,有值域不一定存在最值. 成果验收·课堂达标检测 1.函数y=|x+1|+2的最小值是(　　) A.0 B.-1 C.2 D.3 C 解析 y=|x+1|+2的图象如图所示. 由图可知函数的最小值为2. 11 解析 由题知,f(x)在区间[1,2]上单调递增,其最大值为f(2)=10; f(x)在区间[-4,1)上单调递减,其最大值为f(-4)=11>10. 故函数f(x)的最大值为11. 3.已知函数f(x)=2x-3,当x≥1时,恒有f(x)≥m成立,则实数m的取值范围是 　　　　　.  (-∞,-1] 解析 因为f(x)=2x-3在x∈[1,+∞)上单调递增, 所以f(x)min=-1,故满足f(x)≥-1. 又因为在x≥1时,f(x)≥m恒成立,所以m≤-1,故m∈(-∞,-1]. 本 课 结 束 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ (3)f(x)=|x2-2x|= 变式训练1 已知函数f(x)= 则f(x1)-f(x2)=x1-x2+=(x1-x2). ∴f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(2)=2+=4. ∵f(3)=3+<f(1)=5,∴f(x)在区间[1,3]上的最大值为5. 解 ∀x1,x2∈[1,3],且x1<x2,由例2知,f(x1)-f(x2)=. 由f(x)=-x2+x=-知f(x)max=, ∴a>.∴实数a的取值范围是. 13.设函数f(x)=当a=1时,f(x)的最小值是　　　　　; [0,] 解析 当a=1时,当x≤0时,f(x)=(x-1)2≥1;当x>0时,f(x)=x+≥2=2, 当x>0时,f(x)≥a2,即x+≥a2恒成立, 因为x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,所以a2≤2, 所以-≤a≤.综上所述,a的取值范围是[0,]. 变式训练2 已知函数f(x)=,x∈[1,+∞). (1)当a=时,求函数f(x)的最小值; 解 (1)当a=时,f(x)==x++2. 任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2, 所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·. 因为x1<x2且x1≥1,x2>1,所以x1-x2<0,x1x2>1, 所以1->0,所以(x1-x2)<0. 所以f(x1)<f(x2),即函数f(x)在[1,+∞)上单调递增. 所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=1++2=. (2)因为f(x)=>0在[1,+∞)上恒成立, 故y= 2.若函数f(x)=则f(x)的最大值为　　　　　.  $$