3.2.1.1函数的单调性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 第三章　函数的概念与性质 3.2.1　第1课时　函数的单调性 新课引入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他通过研究绘制出了著名的艾宾浩斯曲线，如图所示： 思考：你能说出记忆量的变化趋势吗？ 若以时间t为自变量，以记忆量y为因变量，则图中反映了函数值随自变量的变化而变化。 5 思考1：观察下列函数图象，你能发现函数有什么变化趋势？ 探求新知 在y轴左侧是下降的； 在y轴右侧是上升的； 问题1：如何用数学语言来描述函数图象的“上升”和“下降”呢？ 探求新知 5 问题1：初中如何用数学语言来描述函数图象的“上升”和“下降”呢？ x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 … f(x)=x2 … 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 … x≤0时 x≥0时 5 问题2：如何用来描述“随着x的增大，相应的也增大（或减小）”？ x≤0时,y随x的增大而减小 ∀x1，x2∈ 当x1<x2时，有f(x1)>f(x2). f(x)在(-∞,0]上单调递减 x≥0时,y随x的增大而增大 ∀x1，x2∈ 当x1<x2时，有f(x1)<f(x2). f(x)在[0,+∞)上单调递增 探求新知 知识点 函数单调性的概念   单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I， ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)<f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递增, 区间D为f(x)的单调递增区间. 图示 单调性是局部性质 ②若f(x)在区间D上单调递增(减)，则称f(x)在区间D具有严格的单调性. ∀x1，x2∈D, 当x1<x2时, 都有f(x1)>f(x2), 则称函数f(x)在区间D上单调递减, 区间D为f(x)的单调递减区间. 注：①当函数在其定义域上单调递增(减)时，则称f(x)是增(减)函数. 探究点一　确定函数的单调区间 1.已知函数f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根据图象写出f(x)的单调区间,单调递增区间为　　　　　　　,单调递减区间为　　　　　.  [-2,-1]和[2,6] [-1,2] 解析 由图象可知f(x)在[-2,6]上的单调递增区间为[-2,-1]和[2,6],单调递减区间为[-1,2]. 对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点. 单调区间用“和”不用“∪” 探究点一　确定函数的单调区间 2.函数y=x2-2|x|+1的单调递增区间是(　　) A.[-1,0] B.[-1,0]和[1,+∞) C.(-∞,-1] D.(-∞,-1]和[0,1] B 作出函数图象如图所示, 由图象可知,函数的单调递增区间为[-1,0]和[1,+∞).故选B. 探究点一　确定函数的单调区间 3. (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x C.f(x)=- D.f(x)=-|x| C 变式训练1 已知x∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间. 由图象可知,函数的单调递增区间为(-∞,1]和[2,+∞);单调递减区间为[1,2]. 探究点二　证明函数的单调性 例1：根据定义证明函数在R上单调递增. 证明： 3 所以，函数在R上单调递增. 1、取值 2、作差 3、变形 4、定号 5、结论 探究点二　证明函数的单调性 例2：已知函数 .用定义法证明在区间上是增函数； 1、取值 2、作差 3、变形 4、定号 5、结论 所以，函数在区间上单调递增 = = 所以又由，所以＜0， 所以 探究点二　证明函数的单调性 规律方法　利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 特别提醒　作差变形的常用技巧 (1)因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1). (2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例. (3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号. (4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化. 探究点二　证明函数的单调性 增+增=增 减+减=减 增－减=增 减－增=减 注：“增－增”、“减－减”无法确定单调性 例如p245.5.④ 已知g（x）=x）+（x） 探究点二　函数单调性的应用 角度1.根据函数单调性比较大小 【例2】 已知函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与 的大小. 变式训练2 已知g(x)的定义域是[-2,2],且在区间[-2,2]上单调递增,g(t)> g(1-3t),求t的取值范围. 解 ∵g(x)在区间[-2,2]上单调递增,且g(t)>g(1-3t), 规律方法　函数单调性的应用问题的解题策略 (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错. 角度2.根据函数单调区间或单调性求参数范围 【例3】 函数f(x)=x2+(2a+1)x+1在区间[1,2]上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) A 规律方法　含参数的函数单调性问题,应明确若函数在某一区间I上单调递增(或单调递减),则该区间是函数的原单调递增区间(或单调递减区间)D的子集,即I⊆D. 变式训练3 如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-3] B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.[5,+∞) A 图象开口向上, ∴函数在区间(-∞,1-a]上单调递减,要使f(x)在区间(-∞,4]上单调递减, 则1-a≥4,解得a≤-3. 角度3.含参数的分段函数的单调性问题 【例4】 [2023湖北武汉期末]已知f(2x)=|x-a|,若函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减,则a的取值范围是(　　) A.a≥1 B.a>1 C.a≥2 D.a>2 A 所以f(x)在区间(-∞,2a]上单调递减. 因为函数f(x)在区间(-∞,2]上单调递减, 所以2a≥2,得a≥1.故选A. 变式训练4 若函数f(x)= 是R上的单调函数,则实数a的 取值范围为　　　　　.  规律方法　判断分段函数的单调性时不要忽视分段函数定义域的分界点的大小,由于分段函数是一个函数,因此对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小应满足函数的单调性的性质,否则求出的参数的范围会出现错误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.(多选题)若函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示,则下列区间是函数f(x)的单调递减区间的为(　　) A.[-4,-2] B.[-3,-1] C.[-4,0] D.[1,4] AD 1 2 3 4 解析 由图象可得f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,1]上单调递增,在[1,4]上单调递减,故选AD. 1 2 3 4 2.[2023广东惠阳月考]已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(　　) A.[-2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.(-∞,-2] C 解析 ∵函数f(x)=ax+1在R上单调递减,∴a<0. ∴函数g(x)=a(x2-4x+3)的图象开口向下,其对称轴方程为x=2. ∴g(x)在(-∞,2]上单调递增, 即函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为(-∞,2].故选C. 1 2 3 4 3.已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)< 的实数x的取值范围是　　　　　.  1 2 3 4 本 课 结 束 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University ★情德善孝 志勤专勇★ 解析 由题得,y= 解析 函数f(x)=3-x为一次函数,在(0,+∞)上单调递减,不符合题意; 函数f(x)=x2-3x为二次函数,在上单调递减,不符合题意; 函数f(x)=-为反比例函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意; 函数f(x)=-|x|,当x>0时,f(x)=-x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意. 故选C. 解 f(x)=x|x-2|=图象如图所示. f 解 ∵a2-a+1=, ∴与a2-a+1都是区间(0,+∞)上的值. ∵f(x)在区间(0,+∞)上单调递减, ∴f≥f(a2-a+1). ∴∴<t≤1.∴t的取值范围为. A.(-∞,-]∪[-,+∞) B.∪ C.(-∞,-] D. 解析 根据题意,函数f(x)=x2+(2a+1)x+1为二次函数, 其图象的对称轴为直线x=-, 若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,则有-≤1或-≥2, 解得a≥-或a≤-, 即实数a的取值范围为(-∞,-]∪[-,+∞),故选A. 解析 ∵二次函数f(x)=x2+2(a-1)x+2图象的对称轴为直线x=-=1-a, 解析 令t=2x,则x=,原函数化为f(t)=,所以f(x)= 解析 因为f(x)=,1<x≤4在(1,4]上单调递减, 故要求整个函数在R上都是单调递减的,则解得2<a≤, 则实数a的取值范围为(2,. (2, f [-1, 解析 由题意得解得-1≤x<. 4.求证:函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递减. 证明 ∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 有f(x1)-f(x2)=. ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)=在区间(0,+∞)上单调递减. $$