3.1.2.2分段函数课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质 3.1.2　第2课时　分段函数 课 程 标 准 1.了解分段函数的概念. 2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 复习引入 画出函数的图象. 解:由绝对值的意义得： 其图象如图： 1.拆绝对值 2.分段作图 知识点 分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数. 分段函数是一个函数,而不是几个函数 注意 (1)处理分段函数问题时,要首先确定自变量的取值属于哪一个范围,然后选取相应的对应关系.要注意写解析式时各区间的端点能否取到,做到不重复、不遗漏. (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是分别求出各段上的值域后取并集. 1.判断正误. (1)分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.(　　) (2)分段函数每一段对应函数值的集合均可以作为分段函数的值域.(　　) (3)函数f(x)=|x-8|可以转化为分段函数的形式.(　　) √ × √ × 探究点一　分段函数的求值 探究点二　分段函数的图象 【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域: (2)y=|x+1|+|x-3|. 练一练 函数f(x)=|x-1|的图象是(　　) B 探究点三　根据分段函数图象求解析式 【例3】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成, 则函数的解析式为　　　　 　.  解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1). 同理可得,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0). ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1. ∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3). 练一练 已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为 　　　 　　.  解析 ∵f(x)的图象由两条线段组成, 探究点四　分段函数在实际中的应用 【例4】 [北师大版教材习题]如图,动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始,顺次经过点C,D,A绕正方形的边界运动,最后回到点B.用x表示点P运动的路程,y表示△APB的面积,求y关于x的函数解析式.(当点P在AB上时,规定S△APB=0) 练一练 某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内,票价2元; (2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算). 每个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个站点,求票价y(单位:元)关于里程x(单位:千米)的函数解析式,并画出图象. 解 根据题意, 如果某空调汽车运行路线中设20个站点(包括起点站和终点站), 那么汽车行驶的里程约为19千米, 所以自变量x的取值范围是{x∈N*|x≤19}. 由空调公共汽车票价制定的规则, 可得到以下函数解析式: 根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示. A.0 B.π C.π2 D.9 B 解析 f(f(-3))=f(0)=π. 成果验收 2.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.若某职工某月缴水费55元,则该职工这个月实际用水为(　　) A.13立方米 B.14立方米 C.15立方米 D.16立方米 C 解析 设该职工的月实际用水为x立方米,所缴水费为y元, 由于55>30,即该职工这个月的实际用水量超过10立方米, 所以5x-20=55,解得x=15.故选C. (1)f(f(2))=　　　　　;  (2)若f(f(a))=2,则a=　　　　　.  解析 (1)f(2)=-22=-4,f(f(2))=f(-4)=(-4)2+2×(-4)+2=10. (2)若a>0,则f(a)=-a2<0, 若a≤0,则f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0, f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解. 10 (4)分段函数f(x)=的图象可以画出来.(　　) 【例1】 已知函数f(x)= (1)求f的值; (2)若f(x)=2,求x的值. 解 (1)f=-+2=, ∴f=f, ∴f=f. (2)当f(x)=x+2=2时,解得x=0,不符合x<0. 当f(x)=x2=2时,解得x=±,其中x=符合0≤x<2. 当f(x)=x=2时,解得x=4,符合x≥2. 综上,x的值是或4. 6.已知函数f(x)= (1)求f(-1),f,f(4)的值; 解 (1)易知f(-1)=0,f=-=-,f(4)=3. (1)y= 解 函数y=的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞). 图① 解 将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数y= 它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞). 图② 解析 函数的解析式可化为f(x)= 画出此分段函数的图象,故选B. y= ∴解得 综上可知,所求函数的解析式为y= ∴由一次函数解析式求法可得f(x)= f(x)= 解 当点P在边BC上运动时,0≤x≤4,此时y=×4·x=2x; 当点P在边CD上运动时,4<x≤8,此时y=×4×4=8; 当点P在边DA上运动时,8<x<12,此时y=×4×(12-x)=24-2x; 当点P在边AB上运动时,12≤x≤16,此时y=0. 综上可知,y= y= (x∈N*). 1.已知f(x)=则f(f(-3))等于(　　) 由题意得y= 即y= ∴f(f(a))=a4-2a2+2=2,得a=或a=-(舍去)或a=0(舍去). 综上,a=. 4.设函数f(x)= $$