3.1.2函数的表示法第一课时课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章　函数的概念与性质 3.1.2　第1课时　函数的表示法 课 程 标 准 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用换元和代入法求函数的解析式. 2.在实际问题中,能够选择恰当的表示法来表示函数. 3.能利用函数图象求函数的值域,并确定函数值的变化趋势. 复习导入 基础落实 重难探究 目 录 索 引 成果验收 复习导入 1、函数的概念： 非空数集的特殊对应关系2、函数的三要素： 定义域、值域、对应关系3、“三性”： 任意性、存在性、唯一性4、区间5、同一函数： 定义域、对应关系都一致 复习导入 在现实中，将变量数x，对应到y的方法和途径是多种多样的，这就导致了函数的表示方法也是多种多样的。本节课我们就来研究一下函数常见的几种表示方法。 复习导入 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任何一个函数都可以用列表法表示.(　　) (2)任何一个函数都可以用解析法表示.(　　) (3)任何一个函数都可以用图象法表示.(　　) (4)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.(　　) (5)函数f(x)=x+1,x∈R与g(x)=x+1,x∈N的图象相同.(　　) × × × × × 基础落实 例1：某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解： 追问：函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线，折线，离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 依据是函数的定义. 要判断一个图形是否为某个函数的图像，其法则为：在定义域内过点任意一点（x，0）作垂直于 x 轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为再次定义域内的函数图象，若无交点或多于1个交点，则不是函数图象. 知识点 函数的表示方法 名师点睛 函数的三种表示方法的优缺点 表示方法 优点 缺点 列表法 不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 只能表示自变量可以一一列出的函数 图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 只能近似地求出自变量所对应的函数值,而且有时误差较大 解析法 一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来 重难探究 探究点一　函数的三种表示法的应用 练习1：某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收款数y(单位:元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来. 解 (1)列表法: x/台 1 2 3 4 5 y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x/台 6 7 8 9 10 y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000 (2)图象法: (3)解析法:y=3 000x,x∈{1,2,3,…,10}. 规律方法　理解函数表示法注意以下要点: (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象,图象法从形的角度描述函数,解析法从数的角度描述函数. (3)函数的三种表示法互相兼容或补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在实际操作中,仍以解析法为主. 探究点二　求函数的解析式 例2： 已知f(x)= +x -1，则f(x+1)=________. 探究点二　求函数的解析式 例3： (1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x); (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式; (3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x). 解 (1)(方法1)令x+1=t,则x=t-1.将x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2, 得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6. (方法2)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6, ∴f(x)=x2-5x+6. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ∵f(0)=1,∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x对任意的x∈R都成立, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x, (3)∵对于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2, ∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得f(x)=-3x- . 规律方法　求函数解析式的四种常用方法 直接法 (代入法) 已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接将g(x)代入即可 待定系数法 若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式 换元法 (配凑法) 已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而求出f(x) 解方程组法 (消元法) 在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,由两个式子建立方程组,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法称为解方程组法或消元法 练习2 已知f (x)=2x +1，则 f(f (x))=________. 练习3 (1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式; 解 ∵f(x)为一次函数, ∴可设f(x)=ax+b(a≠0). ∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1. 探究点三　利用函数的图象求函数的值域 【例3】 作出下列函数的图象,并求其值域: (1)y=1-x(x∈Z); 解 因为x∈Z,所以函数图象为一条直线上的孤立点(如图①), 由图象知,y∈Z. (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3). 解 因为x∈[0,3),所以函数图象是抛物线的一段(如图②), 由图象知,y∈[-5,3). 规律方法　函数图象的作法及注意点 (1)作函数图象最基本的方法是描点法:主要有三个步骤——列表、描点、连线.作图象时一般先确定函数的定义域,再在定义域内化简函数解析式,最后列表画出图象. (2)函数的图象可能是平滑的曲线,也可能是一群孤立的点,画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的交点、区间端点、二次函数图象的顶点等,还要分清这些特殊点是实心点还是空心圈. 如本题(1)中图象是由一些散点构成的,这里不能将其用平滑曲线连起来;本题(2)中描出两个端点及顶点,依据二次函数的图象特征作出函数图象,注意x=3不在定义域内,从而点(3,3)处用空心圈. 变式训练3 作出下列函数的图象,并写出其值域. (1)y=2x+1,x∈[0,2]; 解 当x=0时,y=1;当x=1时,y=3;当x=2时,y=5. 函数图象过点(0,1),(1,3),(2,5).图象如图所示. 由图可知,函数的值域为[1,5]. 由图可知,函数的值域为(0,1]. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数的表示法. (2)求函数解析式. (3)函数图象的应用. 2.方法归纳:待定系数法、换元法、配凑法、数形结合法. 3.常见误区:求函数解析式或画函数图象时易忽视函数定义域. 成果验收 1 2 3 4 5 1.将长度为2的一根铁丝折成长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为(　　) A.R B.{x|x>0} C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1} D 1 2 3 4 5 2.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1),则该一次函数的解析式为(　　) A.f(x)=-x B.f(x)=x-1 C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x+1 D 1 2 3 4 5 3.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(　　) C 解析 因为选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C. 1 2 3 4 5 4.(1)已知函数f(x+1)=3x+2,求f(x); 解 (方法1　换元法)令x+1=t,∴x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1. (方法2　配凑法)f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1, ∴f(x)=3x-1. 1 2 3 4 5 5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图; (2)根据图象写出f(x)的值域. 解 (1)f(x)图象的简图如图所示. (2)观察f(x)的图象可知,f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f(x)的值域是[-1,3]. 本 课 结 束 ∴∴∴f(x)=x2-x+1. ∴解得 故f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+. (2)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式; 解 (方法1)f(+1)=()2+2+1-1=(+1)2-1,其中+1≥1, 故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (方法2)令+1=t,则x=(t-1)2,且t≥1, 则函数f(+1)=x+2可化为f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (3)设函数f(x)满足f(x)+2f=x(x≠0),求f(x). 解 因为对任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f=x成立,所以对于∈R,且≠0, 有f+2f(x)=,两式组成方程组 ②×2-①得,f(x)=. 图① 图② (2)y=,x∈[2,+∞). 解 当x=2时,y=1;当x=4时,y=;当x=6时,y=.图象如图所示. 解析 设f(x)=ax+b(a≠0),则有所以a=-1,b=1,即f(x)=-x+1. (2)已知f=x2+,求f(x). 解 ∵f=x2+=2+2, 令t=x-,∴f(t)=t2+2,∴f(x)=x2+2. $$