3.1.1函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 情德善孝 志勤专勇 回顾1:初中我们学习过哪些函数? 分析: 一次函数 二次函数 反比例函数 课题引入 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University 2 回顾2:在初中,我们已经学习了函数的概念,请同学们回忆一下,它是怎样表述的? 答: 一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。 如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量为a值时的函数值。 课题引入 3 探究新知 问题1:某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时,请你尝试构造在这段时间内列车行进的路程 (单位:km)与运行时间 (单位:h)的对应关系。 是 的函数 思考:根据对应关系,是否列车运行1h后就前进了350km? 不能 其中 的变化范围是数集 的变化范围是数集 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,一个工人的工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗? 对应关系 工作天数的集合 工资的集合 问题3:图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻 h的空气质量指数的值 ?你认为这里的 是 的函数吗? 的变化范围是数集 的值都在数集 中 解:由图可知 函数的对应关系可以用图象表示 问题4:表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数 变化情况,按照表给的对应关系,恩格尔系数 是年份 的函数吗? 表格也可以表示函数的对应关系 解:由表可知 的取值范围是数集 的值在集合 中 归纳:问题1—问题4的共同特征 ②都有对应关系; ③都满足对于数集 中的任意 ,按照对应关系,在数集 中都有唯一 和它对应. ①都包含两个非空数集, 用集合 表示; 知识点1 函数的概念 函数的概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 的数y和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y=f(x),x∈A 定义域 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 集合{f(x)|x∈A}与集合B的关系为“{f(x)|x∈A}⊆B” 唯一确定 定义域 值域 简记为: 任 意 唯 一 注: 集合 为定义域, ① 集合 B 不一定为值域, 显然值域是B 的子集。 ② 名师点睛 1.函数有三要素:定义域、值域、对应关系. 2.因为函数的值域可由函数的定义域和对应关系确定,所以确定一个函数只需两个要素:定义域和对应关系. 3.理解函数的概念应关注三点: (1)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x,在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应,这三性只要有一个不满足,便不能构成函数; (2)y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定就是解析式; (3)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号来表示函数. 探究点一 函数关系的判断 【例1】 (1)设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B 解析 ①错误,x=2时,在N中无元素与之对应,不满足任意性. ②正确,同时满足任意性与唯一性. ③错误,x=2时,对应元素y=3∉N,不满足存在性. ④错误,x=1时,在N中有两个元素与之对应,不满足唯一性. 练习 1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函数: 不是 不是 1 2 3 4 1 2 3 4 A B (4) 1 1 2 3 4 A B (2) 1 2 3 1 2 3 4 A B (3) 是 A B 1 2 3 4 1 2 3 4 (1) 是 规律方法 1.根据图象判断是否为函数关系的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内沿x轴平行移动直线l. (3)若直线l与图象始终有且只有一个交点,则是函数;若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法: (2)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={x|0≤x≤4},则下列对应关系中,不能看作是从A到B的函数关系的是( ) D 解析 根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,集合B中没有元素与它对应,故不正确. 变式训练1 (1)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( ) B 解析 选项A中的定义域不是[-2,2],选项C中图象不满足函数定义中的唯一性,选项D中的值域不是[0,2],故选B. (2)已知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4},下列四个对应关系中能构成从集合M到集合N的函数的是( ) A.y=x2 B.y=x+1 C.y=x-1 D.y=|x| D 解析 只有y=|x|是符合题意的对应关系,故选D. 知识点2 区间的概念与表示 设a,b∈R,且a<b,规定如下: 符号 数轴表示 [a,b] 区间可转换为集合形式,并不是所有集合都能写成区间形式 (a,b) [a,b) (a,b] 示例: 1.区间[1,2)表示的集合为 . {x|1≤x<2} 2.实数集R及{x|x≥a},{x|x>a},{x|x≤a},{x|x<a}如何用区间表示? 提示 解析 根据区间的定义,可表示为{x|1≤x<2}. 集合 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 区间表示 (-∞,+∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) 3.区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示. 规律方法 用区间表示集合的注意点 (1)区间从左到右,由小及大,常借助数轴辅助理解; (2)开区间——小括号(a,b)——空心点; 闭区间——中括号 [a,b]——实心点; (3)用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 探究点二 区间 【例2】 将下列集合用区间以及数轴表示出来: (1){x|x<2}; (2){x|x=0,或1≤x≤5}; 解 (1){x|x<2}可以用区间表示为(-∞,2);用数轴表示如图①. (2){x|x=0,或1≤x≤5}可以用区间表示为{0}∪[1,5];用数轴表示如图②. (4){x|2≤x≤8,且x≠5}; (5){x|3<x<5}. 解 (4){x|2≤x≤8,且x≠5}用区间表示为[2,5)∪(5,8];用数轴表示如图④. (5){x|3<x<5}用区间表示为(3,5);用数轴表示如图⑤. 变式训练2 (1)集合{x|0<x<1,或2≤x≤11}用区间表示为 . (2)若集合A用区间表示为[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为 . (0,1)∪[2,11] 解析 由区间的定义知,区间[a,b](或(a,b))成立的条件是a<b. 则有2a-1<a+2. ∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3). (-∞,3) 知识点3 函数的定义域及求值 规律方法 常见函数定义域的求法 (1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R; (2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合; (3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合; (4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集). 【例4】 求下列函数的定义域,并用区间表示. 解得x≤1且x≠-1,即函数定义域为(-∞,-1)∪(-1,1]. 解 要使函数有意义,须使-x2+2x+8≥0,解得-2≤x≤4, 因此函数的定义域为[-2,4]. 知识点3 函数的定义域及求值 课本例题 例1:已知函数 (1)求函数的定义域; (2)求 的值; (3)当 时,求 的值. 解: (1)要使函数有意义,则: 所以,这个函数的定义域是 (2) 定义域无具体要求则用集合或区间表示 4.求下列函数的定义域: 知识点4 同一个函数 如果两个函数的 相同,并且 完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数. 名师点睛 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,那么这两个函数就相同,譬如f(x)=x+1,x∈R与函数f(t)=t+1,t∈R表示同一个函数. 定义域 对应关系 过关自诊 求同一函数,先不化简求定义域,再化简看对应关系 【例3】 (多选题)下列四组函数中,f(x)与g(x)表示同一个函数的是( ) BD 知识点4 同一个函数 两函数定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数; 函数f(x)=(x-1)0=1,定义域为{x|x≠1},g(x)=1的定义域为R, 两函数定义域不同,不是同一个函数; 两函数定义域相同,对应关系也相同,是同一个函数.故选BD. 规律方法 判断两个函数是否表示同一个函数的两个步骤 变式训练3 下列各组函数是同一函数的是 (填序号). ②③ ③f(x)=x2-2x-1(x∈R)与g(t)=t2-2t-1(t∈R),对应关系和定义域均相同,故是同一函数. 知识点5 函数的值域 【例5】 求下列函数的值域: 规律方法 求函数值域的基本方法是根据解析式特征,选择恰当的方法,常见方法如下: (1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到; (2)配方法:此方法是求“二次型函数”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法; (4)换元法:对于一些无理函数(如y=ax b ),通过换元把它们转化为有理函数,然后利用有理函数求值域的方法,间接地求解原函数的值域; (5)基本不等式法:若所给函数解析式直接(或化简后)满足基本不等式的条件,可以直接使用基本不等式求最值. 变式训练5 求下列函数的值域: (2)y=x2-4x+6(1≤x≤5); 解 y=x2-4x+6=(x-2)2+2, ∵1≤x≤5,∴-1≤x-2≤3,∴0≤(x-2)2≤9, ∴2≤(x-2)2+2≤11,∴y∈[2,11]. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)函数的定义及判断. (2)求函数的定义域. (3)同一个函数的判断. (4)求函数值域. 2.方法归纳:换元法、图象法、数形结合、数学抽象. 3.常见误区:化简函数的对应关系时要注意定义域的变化. 成果验收 课堂达标检测 1 2 3 4 A.(-∞,+∞) B.(-∞,-1] C.(-1,+∞) D.[-1,0)∪(0,+∞) D 1 2 3 4 2.(多选题)下列四组函数中不是同一个函数的是( ) ACD 解析 对于选项A,C,函数的定义域不同; 对于选项D,两个函数的对应关系不同. 1 2 3 4 3.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图象中能表示以A为定义域,B为值域的函数的是( ) B 1 2 3 4 解析 A中函数的值域为{y|0≤y≤2},故错误; C,D中函数的值域为{1,2},故错误,故选B. 1 2 3 4 4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 .(用区间表示) (2)函数y=x2+x+2,x∈R的值域是 .(用区间表示) (-1,3] 解析 ∵-1<x≤1, ∴-2<2x≤2.∴-1<2x+1≤3. ∴函数的值域为(-1,3]. 本 课 结 束 首都师范大学附属昌财实验中学 Changcai Experimental High school of Capital Normal University A.f:x y=x B.f:x y=x C.f:x y=x D.f:x y=x (1)y=; 解 要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 (2)y=; (3)f(x)=. 解 要使函数有意义,则 解得-3≤x<且x≠-. 所以函数的定义域为[-3,-)∪. (3)f(x)=(x∈Z); (4)f(x)=. 解 要使有意义,x需满足-x2+2≥0, 即-≤x≤,又x∈Z,则x等于-1,0,1, 故该函数的定义域为{-1,0,1}. 解 要使函数有意义,当且仅当解得1≤x≤3. 故该函数的定义域为[1,3]. (2)g(x)=. 解 因为函数有意义当且仅当 解得x≠0且x≠-2,因此函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0)∪(0,+∞). [北师大版教材习题](1)函数f(x)=x和g(x)=是同一个函数吗?为什么? (2)函数f(x)=和g(x)=是同一个函数吗?为什么? 解 函数f(x)=x和g(x)=不是同一个函数, 因为它们的定义域不同,前者为R,后者为{x|x≠0}. 解 函数f(x)=和g(x)=是同一个函数, 因为它们的定义域都是{x|x≠0},对应关系都可化为f(x)=. A.f(x)=x+1,g(x)= B.f(x)=,g(x)= C.f(x)=(x-1)0,g(x)=1 D.f(x)=,g(x)= 解析 函数f(x)=x+1,定义域为R,g(x)==x+1的定义域为{x|x≠1}, 两函数定义域不同,不是同一个函数; 函数f(x)=,定义域为[-1,1], g(x)=的定义域为[-1,1], 函数f(x)==1,定义域为(0,+∞),g(x)==1的定义域为(0,+∞), ①f(x)=与g(x)=x; ②f(x)=x0与g(x)=; ③f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1. 解析 ①f(x)=-x,g(x)=x,二者对应关系不同, 故f(x)与g(x)不是同一函数; ②f(x)=x0=1(x≠0),g(x)==1(x≠0),对应关系与定义域均相同,故是同一函数; (1)y=; 解 (方法1)∵y==2+,且≠0, ∴y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (方法2)∵y=,∴x=.∴y≠2.故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (2)y=2x-; 解 设t=,则t≥0,且x=t2+1, ∴y=2(t2+1)-t=22+, 由t≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[,+∞). (3)y=x+. 解 函数y=x+的定义域为{x|x≠0}, 当x>0时,y=x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立; 当x<0时,-x>0,y=x+=-≤-2=-4, 当且仅当x=-2时,等号成立. ∴y=x+的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). (3)分离常数法:此方法主要是针对形如y=(ac≠0)的有理分式,将有理分式变形转化为“反比例型函数”的形式或变形为y=后结合不等式的性质求值域; (1)y=; 解 ∵0≤16-x2≤16, ∴0≤≤4,即函数y=的值域为[0,4]. (3)y=. 解 ∵y==1-,且定义域为{x|x≠-1}, ∴≠0,即y≠1. ∴函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}. 1.函数f(x)=的定义域是( ) 解析 要使函数有意义,则解得f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,+∞). 故选D. A.f(x)=,g(x)= B.f(x)=,g(t)= C.f(x)=,g(x)= D.f(x)=x,g(x)=|x| 解析 ∵x2+x+2=2+, ∴函数的值域为. $$