2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 2.3.2　二次函数与一元二次方程、不等式 分式不等式的解法 (1)分式不等式的概念 分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.各种分式不等式经过同解变形,都可化为标准形式 >0(或≥0)或 <0(或≤0)(其中f(x),g(x)为整式,且g(x)不为0). (2)分式不等式的解法 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 化分式不等式为标准型的方法:移项,通分,右边化为0,左边化为 的形式. 将分式不等式转化为整式不等式的同解变形如下表: 探究点一　一元二次不等式的求解 【例1】(2)-3x2+6x-2>0; 解 不等式可化为3x2-6x+2<0. 因为方程3x2-6x+2=0的判别式Δ=36-4×3×2=12>0, 规律方法　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 探究点二　含参数的一元二次不等式问题 角度1.已知一元二次不等式的解集求参数值 【例2】 若关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,求a,b,c. 规律方法　1.一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题. 2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2);当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2};当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}. 角度2.含参数的一元二次不等式的解法 【例3】 [北师大版教材例题]求关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集,其中a是常数. 解 依题意知方程x2+(1-a)x-a=0的实数根为x1=-1,x2=a,且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线. (1)当a<-1时,如图①,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a,0)与(-1,0). 所以原不等式的解集为{x|a<x<-1}. (2)当a=-1时,如图②,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴只有一个交点(-1,0). 所以原不等式的解集为⌀. (3)当a>-1时,如图③,一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1,0)与(a,0).所以原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 综上所述,当a<-1时,原不等式的解集为{x|a<x<-1}; 当a=-1时,原不等式的解集为⌀; 当a>-1时,原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 规律方法　解含参数的一元二次不等式的步骤 角度3.不等式的恒成立问题 【例4】 (1)已知关于x的不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意. 当k≠0时,令f(x)=kx2+2kx-(k+2), ∵f(x)<0恒成立, ∴函数f(x)图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点. 综上,实数k的取值范围是{k|-1<k≤0}. (2)当1≤x≤2时,关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围. 解 令g(x)=x2+mx+4. ∵当1≤x≤2时g(x)<0恒成立, 规律方法　1.如图①,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ 2.如图②,关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ 3.含参数的一元二次不等式在某一范围恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用二次不等式对应的二次方程根的分布及数形结合思想求解. 探究点三　一元二次不等式的实际应用 【例5】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距 (1)求n的值. (2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少? 因为n∈N,所以n=6. (2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s≤12.6, 解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60, 即行驶的最大速度为60 km/h. 所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+. 因为函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线, 所以原不等式的解集是. 图① 图② 图③ ∴解得-1<k<0. ∴g(x)=0的根一个小于1,另一个大于2.得 ∴ ∴实数m的取值范围是{m|m<-5}. 离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系:s=(n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中 解 (1)由题意得解得5<n<. 所以≤12.6,因此v2+24v-5 040≤0, $$