2.1等式性质与不等式性质课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程与不等式 2.1 等式性质与不等式性质 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 1.了解相等关系与不等关系，会用不等式（组）表示不等关系. 2.会用作差法比较两个实数或代数式值的大小. 3.掌握等式与不等式的性质 课程引入 1 学习目标 重难点 重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异 难点：利用等式与不等式的性质，解决实际问题 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不少于等。 类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等式表示不等用不等式表示。 课程引入 1 文字 语言 大于 大于 等于 小于 小于 等于 至多 至少 不少于 不多于 符号 语言 >  ≥ <  ≤ ≤ ≥ ≥ ≤ 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；如图，设是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，B，当点A在点B的左边时，；当点A在点B的右边时，；当点A和点B重合时，. 基本事实 2 A B B A A(B) 基本事实 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么 做差法依据： ① ② ③ 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 当我们无法直接比较两个数或者式子大小的时候，可利用作差法：即利用两个两个数或者式子的差与0的大小关系，比较式子的大小。 基本事实 2 基本事实的应用 作差法的步骤 作差 变形 判断符号 得出结论 一般是通过因式分解、通分、配方、分母有理化等变形手段，将差变形为几个因式积的形式或配成完全平方式。 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 3 解： 例1 比较和的大小. = = 2＞0， 所以＞ 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 一般地，，这个不等式被称为重要不等式，当且仅当时，等号成立. 利用完全平方公式可以得到这个不等式： 因为,,当且仅当时，等号成立.所以 因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到： ，当且仅当时，等号成立. 一个重要的不等式 4 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 3 1.已知P=x2+xy+y2,Q=3xy-1,则(　　) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.P,Q的大小关系不确定 A 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 等式的性质 5 对称性 如果，那么 传递性 如果，那么 加减性 如果那么 同乘性 如果那么 同除性 如果那么 不等式具有那些性质呢？ 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 不等式的性质 7 对称性 如果，那么，如果，那么，即⇔ 传递性 如果，那么，即⇔ 可加性 如果那么 可乘性 如果那么，如果那么 同向可加性 如果那么 同向同正可乘性 如果那么 同正可乘方性 如果那么 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 1.[2023北京丰台期末]下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a-c>b-c C.若a>b,c>d,则a-c>b-d B 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例2 已知，，求证 方法二：性质法 证明：，所以， 于是，即 ，得 探究点二　代数式大小的比较 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 平方差公式 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 【例1】 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. 探究点一　用不等式(组)表示不等关系 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 例2 已知，，求证 方法一：作差法 证明： 因为，所以， 又因为，所以，所以 探究点二　代数式大小的比较 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 探究点三　不等式性质的应用 角度1.应用不等式性质判断命题真假 【例3】 对于实数a,b,c,判断下列命题真假: (1)若a<b<0,则a2>ab>b2; 解 由a<b<0,可得a2>ab,ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该命题为真. 解 因为c>a>b>0,所以c＞a，-a＜-b，所以0<c-a<c-b, 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 探究点三　不等式性质的应用 因为a>b,所以b-a<0,于是ab<0. 又因为a>b,所以a>0,b<0.故该命题为真. 解 =因为a＜b＜0,所以-a＞-b＞0,于是 ， 所以.＜0，故该命题为假. 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 探究点三　不等式性质的应用 角度2.应用不等式性质证明不等式 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 例题讲讲 8 探究点三　不等式性质的应用 角度3.利用不等式性质求取值范围 【例5】 已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,-b与a-b的取值范围. 解 ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24. ∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是{2a+3b|8<2a+3b<32},-b的取值范围为{-b|-8<-b<-2},a-b 的取值范围是{a-b|-7<a-b<2}. 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 知识小结 9 1 2 3 4 作差法 不等式的性质 重要不等式 等式的性质 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 谢谢观看 人教A版（2019） 万物皆数--毕达哥拉斯 D.若b>a>0,c>0,则 解 由题意知0<x≤18,菜园的另一边长为 m, 因此菜园面积S=x·,由题意可知,S≥110,即x≥110, 所以题中不等关系可用不等式组表示为 因此>0,于是.故该命题为真. (2)若c>a>b>0,则; (4)若a<b<0,则. 解 由,可知>0. (3)若a>b,,则a>0,b<0; 两边同乘,得. 又e<0,∴. 【例4】 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:. $$