1.4.2充要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件 新课导入 复习 在初中,我们已经对命题有了初步的认识.那你知道什么叫命题吗? 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 命题: 判断为真的语句叫做真命题. 判断为假的语句叫做假命题. (假) (假) (真) (假) 不是命题 a=2是偶数 (1)若x,y是无理数,则x+y是无理数. (2)若x+y是有理数,则x,y都是有理数 . (3)3≥3. (4)若整数a是质数,则a是奇数. (6)3能被2整除吗? (7)x>15. (5)求证 是无理数. [练习1]判断下列是否为命题,判定命题的真假: 命题的形式: 中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”,“如果p,那么q” ,“只要p,就有q”等形式. 其中p称为命题的条件,q称为命题的结论. 新课导入 本节主要讨论这种形式的命题.下面我们将进一步考察“若,则”形式的命题中和的关系,学习数学中的三个常用的逻辑用语——充分条件、必要条件和充要条件. 新知探究 思考 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题,哪些是假命题? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若x2-4x+3=0, 则 x=1; (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. (真命题) (假命题) (真命题) (假命题) 对于(1)(4),我们知道它们是真命题,即由条件p可以推出结论q, 对于(2)(3),我们知道它们是假命题,即由条件p不能推出结论q, 概念生成 一般地,如果命题“若p则q” 为真命题,是指由p通过推理可以得出q. 这时,我们就说,由p可以推出q,记作pq,并且说p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 充分条件与必要条件定义: 说明:p足以导致q,也就是说条件p充分了; 如果q不成立,则p一定不成立。所以q对于p成立而言是必要的所必须具备的前提 如果“若p则q” 为假命题,由p不能推出q.,记作p q此时,我们就说,p不是q的充分条件,q不是p 的必要条件. 例:若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形 概念生成 回归到探究 下列“若p,则q”形式的命题中p是q的什么条件?q是p的什么条件? (1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形; (2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等; (3)若x2-4x+3=0, 则 x=1; (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b. (1)(4)是真命题 所以p是q的充分条件,q是p的必要条件, (2)(3)是假命题 所以p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 典例解析 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形; (2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似; (3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直; p q? (真命题) (真命题) (真命题) 典例解析 例1 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中p是q的充分条件? (4)若x2=1,则x=1; (5)若a=b,则ac=bc; (6)若x,y为无理数,则xy为无理数. 【总结】1. p是q的充分条件的前提是命题“若p,则q”为真命题. 2. 举反例是判定一个命题是假命题的重要方法. (假命题) (真命题) p q? (真命题) 问题3 例1中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 新知探究 显然这样的充分条件是不唯一的,比如还有: 四边形的两条对角线互相平分 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 ① 若四边形的两组对边分别相等,则这个四边形是平行四边形; ② 若四边形的一组对边平行且线段,则这个四边形是平行四边形; ③ 若四边形的两条对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形. 因此,我们还可以得到以下三个命题 事实上,例1中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的判定定理. 归纳小结 平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即这个条件能充分保证四边形是平行四边形. 一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 结论1: 类似地,平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件,例如“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行” . 典例解析 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中q是p的必要条件? (1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等; (2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例; (3)若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形; p q? (真命题) (真命题) (假命题) 例2 下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中q是p的必要条件? (4)若x=1,则x2=1; (5)若ac=bc,则a=b; (6)若xy为无理数,则x,y为无理数. 典例解析 p q? (真命题) (假命题) (假命题) 【总结】 q是p的必要条件的前提是命题“若p,则q”为真命题. 新知探究 问题4 例2中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件是唯一吗?如果不唯一,那么你能再给出几个其他必要条件吗? 显然这样的必要条件是不唯一的,比如还有: 四边形的两条对角线互相平分 四边形的两组对边分别相等 四边形的一组对边平行且相等 因此,我们还可以得到以下三个命题 ① 若四边形是平行四边形,则这个四边形的两组对边分别相等; ②若四边形是平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且线段; ③若四边形是平行四边形,则这个四边形的两条对角线互相平分等. 事实上,例2中命题(1)及上述命题①②③均是平行四边形的性质定理. 归纳小结 平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件. 类似地,平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件.例如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,也就是说,如果同位角不相等,那么就不可能有“两直线平行”. 结论2: 一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 练习1 (1)判断下列命题中p是否为q的充分条件? ①在 ABC中,A,B,C所对边分别为a,b,c.p:∠A<∠B,q:a<b; 在 ABC中,由大角对大边知,∠A<∠B a<b,故p是q的充分条件. ②已知x,y∈R,p:x=2,q:x2-x-2=0; 由x=2 x2-x-2=0,故p是q的充分条件. ③已知x∈R,p:x<3,q:x<1. 方法一 由x<3 x<1,p的不等式范围较大,q的范围较小, 因此p不是q的充分条件. 方法二 设集合A={x|x<3},B={x|x<1}, 所以B⊆A,所以p不是q的充分条件. (2)判断下列命题中q是否为p的必要条件? ①p:一个四边形是菱形,q:四边形的对角线互相垂直; ②p:A⊆B,q:A∪B=B; 因为菱形的对角线相互垂直,所以q p,因此q是p的必要条件. 因为p q, 所以q是p的必要条件. 17 ③p:am<bm,q:a<b. 因为p q, 所以q不是p的必要条件. 18 练习2 已知集合P={x|-2<x<4},Q={x|3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若P的充分条件为Q,求实数m的取值范围. 由已知,P的充分条件为Q,则Q是P的子集. 当3m-2>5m+2,即m<-2时,Q=∅,满足题意, 19 跟踪训练3 已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是_. -1≤a≤5 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件, 所以Q⊆P, 20 p q:p是q的充分条件,q是p的必要条件 [注]p是q的充分条件:是指条件p可推出结论q, 不意味着只有条件p可推出结论q, [注]q是p的必要条件:是指条件p可推出结论q, 不意味着条件p只能推出结论q, 即:对给定条件p,由p可推出的结论q是不唯一的. 即:对给定结论q,使得q成立的条件p是不唯一的. 概念解析 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 1、充分条件和必要条件; 2、判别步骤: 3、判别技巧. 给出p、q,判断“p q”真假,下结论 否定命题时举反例 p q,p是q的充分条件, q是p的必要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.2 充要条件 新课导入 上节课中,我们学会了命题的改写“若,则”命题形式。并学会了判断命题的真假。 同时,我们学习了充分条件与必要条件,主要集中在“推出”,那前能推后,并且后能推前又会是怎样的规定? 逆命题: 将命题“若,则”中的条件和结论互换,就得到一个新的命题“若,则”,则称这个命题为原命题的逆命题。 一、充要条件 思考1(教材P20改编) 判断下列命题及其逆命题的真假? (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等; (2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等; (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,则ac<0. (4)若x>y,则x2>y2. 原命题 逆命题 真 真 真 真 假 假 假 假 概念生成 充要条件 既有p q ,又有q p 就记作 此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q) 即:如果p q,那么p 与 q互为充要条件. 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即 p q 命题真假 推出关系 条件关系 p q p是q的充要条件 (等价条件) “若p,则q”为真命题 “若q,则p”为真命题 “若p,则q”为真命题 “若q,则p”为假命题 “若p,则q”为假命题 “若q,则p”为真命题 p q,q p p是q的充分不必要条件 p q,q p p是q的必要不充分条件 “若p,则q”为假命题 “若q,则p”为假命题 p q,q p p是q的既不充分也不必要条件 一、充要条件 例1(教材P21例3改编) 下列各题中, 判断p是q的什么条件? (1) p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分; (2) p:两个三角形相似,q:两个三角形三边成比例; (3) p:xy>0,q:x>0,y>0; (4) p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,q:a+b+c=0(a≠0). p q,q p(充分不必要条件) p q(充要条件) p q,q p(必要不充分条件) p q(充要条件) 训练1(教材P22习题2) 下列各题中, 判断p是q的什么条件? (1) p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2) p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0 (a≠0); (3) p:a∈P∩Q,q:a∈P; (4) p:a∈P∪Q,q:a∈P; (5) p:x>y,q:x2>y2. p q,q p (必要不充分条件) p q(充要条件) p q,q p(充分不必要条件) p q,q p(必要不充分条件) p q,q p(既不充分也不必要条件) 一、充要条件 思考2 若p q,则p是q的充要条件,p唯一吗?请举例说明. 思考3(教材P21探究) 你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗? ①四边形的两组对边分别相等; ②四边形的一组对边平行且相等; ③四边形的两条对角线互相平分; ④四边形的两组对角分别相等. 结论 数学定义是从充分性与必要性两个方向刻画数学对象的,不同的充要条件从不同的 角度刻画了一个数学对象. “四边形是平行四边形”这一定义的充要条件并不是唯一的。 一、充要条件与集合的关系 例2 下列各题中, p是q的什么条件? (x∈R) (1) p:x>3, q:x>2; (2) p:(x-1) (x-2)=0,q:x=1; (3) p:-1≤x≤5,q:x≥ -1且x≤5; (4) p:x>0, q:x< -2. p q,q p; 思考6 观察例2,你能否用集合间的关系进行表示. 定义 Venn图 集合表示 p q,q p 设P={x| p(x)},Q={x| q(x)} P ⫋Q p q,q p Q ⫋P p q p q,q p P = Q 无包含关系 小范围 大范围 p q,q p; p q; p q,q p. 二、充要条件与集合的关系 例3(同步导练P19例3) 若p:x2+x-6=0是q:ax+1=0 (a≠0)的必要不充分条件,则实数a的值为 _. 由题知,Q ⫋P 训练2(同步导练P19训练3) 一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要 条件是 ( ) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 C 三、充要条件的证明 例4(教材P23习题5) 设a,b,c∈R.证明:a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c. ①充分性(已知a=b=c,证明a2+b2+c2=ab+ac+bc) 若a=b=c,则a2+b2+c2=aa+bb+cc=ab+ac+bc ②必要性(已知a2+b2+c2=ab+ac+bc,证明a=b=c) 若a2+b2+c2=ab+ac+bc,则2(a2+b2+c2)=2ab+2ac+2bc, 则(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,所以a=b=c. 证明:a=b=c是a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件. 结论 ①证明p为q的充要条件:充分性_;必要性_; ②证明q为p的充要条件:充分性_;必要性_; 证明 p q 证明 q p 证明 q p 证明 p q 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 1.充要条件的概念 2.充要条件证明 当3m-2≤5m+2,即m≥-2时,由题意得解得0<m<, 综上,m的取值范围是. 所以即所以-1≤a≤5. 设P={x| p(x)}={2,-3},Q={x| q(x)}={-}. 所以,- =2或- = - 3,即a= - 或 $$