精品解析：四川省德阳中学校2024-2025学年高一上学期第一次（10 月）数学测试试题

德阳中学高2024级高一第一次数学测试题 命题人：田锟 审题人：刘劲显 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2.本试卷满分100分，120分钟完卷. 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 若，则 6. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 8. 已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题 9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.将答案直接填在答题卡上） 12. 不等式的解集为________________. 13. 已知实数满足，，则的取值范围是________. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.） 15. 已知，，其中. （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 求下列不等式的解集： （1）关于x的不等式的解集是，求不等式的解集. （2）. 17. 命题：关于的方程有两相异实根，有且仅有一个根大于0且小于2.命题：实数m满足. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 18. 已知，，，且，证明： （1）； （2）. 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳中学高2024级高一第一次数学测试题 命题人：田锟 审题人：刘劲显 说明： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2.本试卷满分100分，120分钟完卷. 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列写法中正确的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系，集合间的关系逐一判断即可. 【详解】根据集合和集合的关系用包含表示，故，， 空集没有元素，故，综上只有C正确. 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定的方法判断即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 3. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的概念，以及集合的包含关系求解即可. 【详解】要成为不等式成立的一个充分不必要条件， 则该条件所对应的集合为集合的真子集， 逐一分析各选项可知只有A符合条件， 故选：A 4. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，即，解得，即， 解不等式，得，即，或， 所以. 故选：B 5. 下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可说明ABD；由得出，即可说明C． 【详解】对于A选项，当，，，时，，故A错误； 对于B选项，当时，，故B错误； 对于C选项，因为， 所以，即，故C正确； 对于D选项，当，时，满足，显然不成立，故D错误． 故选：C． 6. 设，，，则下列说法错误的是（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式证明选项B正确. 【详解】因为，，， 则，当且仅当时取等号，所以选项A正确； 因为， 故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B正确； ， 当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确； ， 故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误． 故选：D． 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定为的两根，求得，可得，利用均值不等式可求得答案. 【详解】由题意关于x的不等式的解集为，其中， 可知 ，且为的两根，且， 即，即 ， 所以，当且仅当时取等号， 故选:C. 8. 已知不等式解集中的整数恰有个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式性质，整理不等式为一元二次不等式，结合分类讨论思想，可得答案. 【详解】由，则，， 易知，可得， 当时，解得， 由，则， 可得，解得； 当时，解得，由，则， 可得，解得. 故选：BD. 二、选择题 9. 设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出维恩图，再根据维恩图分析判断得解. 【详解】、B、I满足，先画出维恩图，如下图： 根据维恩图可判断出A、C、D都是正确的； 而，故B错误； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平. 10. 设为实数，已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，方程的两个实数根之和为 B. 方程无实数根的一个必要条件是 C. 方程有两个不相等的正根的一个充分条件是 D. 方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别，结合充分条件与必要条件的定义，可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，而方程无实根，故A错误； 对于B，由题意可得， 由，解得，，故B正确； 对于C，由题意可得， 由B可知不等式的解集为， 解不等式可得， 所以不等式组的解集为，，故C错误， 对于D，由题意可得，解得，故D正确. 故选：BD. 11. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题3分，共9分.将答案直接填在答题卡上） 12. 不等式的解集为________________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分，利用分式不等式的解法求解即可. 【详解】由得，整理得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为： 13. 已知实数满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】由题意，设，整理得， 所以，解得，即， 因为，， 所以，， 所以，即， 所以的取值范围是， 故答案为： 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，结合一次函数与二次函数的单调性，可得的等量关系，整理函数，可得答案. 【详解】由函数在上单调递增，且在上恒成立， 则函数在上单调递减，即， 令，可得，则，可得， ， 当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.） 15. 已知，，其中. （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由一元一次不等式求解，结合交集与并集的运算，可得答案； （2）由交集的结果可得集合之间的包含关系，利用分类讨论，可得答案. 【小问1详解】 由，则，所以，. 【小问2详解】 由，则， 当时，，可得，解得； 当时，，不合题意； 当时，，由，则不合题意. 综上所述，. 16. 求下列不等式的解集： （1）关于x的不等式的解集是，求不等式的解集. （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解集求得的关系式，由此求得不等式的解集. （2）将不等式化成标准型，利用穿根法可得不等式的解集. 【小问1详解】 ∵不等式的解集是， ∴，且的两个根为， ∴，即， ∴不等式 即 ， ∴，解得. ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 根据穿根法如图，可知不等式的解集为. 17. 命题：关于的方程有两相异实根，有且仅有一个根大于0且小于2.命题：实数m满足. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意，方程的，且，即可解出的取值范围； （2）求出命题为真时的取值范围，再分别求出两个命题为假时的取值范围，根据题意，“一真一假”联立不等式组，即可解出的取值范围. 【小问1详解】 若命题为真命题，则有，即或， 设，因为有且仅有一个根大于0且小于2，所以， 即，化简得，所以， 综上所述，的取值范围为：； 【小问2详解】 对于命题：将化为：，即：， 所以当命题为假时：或， 由（1）可知，命题为假时：或， 所以若这两个命题有且仅有一个是真命题时，有： 或，解之得：或， 所以的取值范围是：. 18. 已知，，，且，证明： （1）； （2）. 【答案】（1） 因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2） ， 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于的不等式； （3），使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【小问1详解】 不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. 【小问3详解】 由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $