4.4解直角三角形的应用 课件 2024—2025学年湘教版九年级数学上册

（湘教版）九年级 上 4.4解直角三角形的应用 教学目标 1.学生能够理解坡角和坡度的概念，并会根据直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。 3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。 4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。 新知导入 观察 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ 新知讲解 如图，从山坡脚下点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i表示，即 i= (坡度通常写成1:m的形式) 在图中，∠BAC叫作坡角(即山坡与地平面的夹角)，记作α， 显然，坡度等于坡角的正切， 即i==tanα． 坡度越大， 山坡越陡． 典例精析 例2 如图，一山坡的坡度为i=1∶2. 小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了 240 m 到达点 C. 这座山坡的坡角是多少度？ 小刚上升了多少米？ （角度精确到 0.01°， 长度精确到 0.1 m） 解:用α表示坡角的大小， 由题意可得tanα==0.5，因此 α≈26.57°． 如图， 在Rt△ABC 中， ∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m， 因此sinα==． 从而 BC=240×sin 26.57°≈107.3（m）． 答： 这座山坡的坡角约为26.57°， 小刚上升了约107.3 ｍ． 典例精析 例3 如图，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上， 继续航行 1 h 到达 B 处， 这时测得灯塔 C 在北偏东 30°方向上. 已知在灯塔 C 的四周 30 km 内有暗礁． 问这艘船继续向东航行是否安全？ 分析: 这艘船继续向东航行是否安全， 取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 30 km． 如果大于 30 km， 则安全， 否则不安全． 典例精析 解:作CD⊥AB，交AB延长线于点D．设CD=xkm. 在 Rt△ACD 中，∵tan∠CAD=， ∴AD= = . 同理，在 Rt△BCD 中， BD= = ． ∵ AB=AD-BD， ∴ =40． 解得 x=20． 又20≈34.64>30， 因此，该船能继续安全地向东航行． 典例精析 解直角三角形应用题的一般步骤: 1.弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 2.将实际间题化归为直角三角形中的边角关系问题.当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. 3.寻找直角三角形，并解这个三角形. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 1.河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度为1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AC的长是(　　) A．5米 B．10米 C．15米 D．10米 A 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 2.如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船沿正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是(　　) A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里 B 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 3.小明沿着坡度i为1∶的斜坡向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m. 25 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 4.如图，修建抽水站时，沿着坡度为i＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是( ) A．sinα＝ B．cosα＝ C．tanα＝ D．以上都不对 C 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 5.如图，小雅家(图中点O处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是( )  A．250米 B．250米 C.米 D．500米 A 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 6.如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1∶ (i为DF与FC的比值)，则背水坡CD的坡长为________米． 12 【综合拓展类作业】 课堂练习 海南为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示．已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC. (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2) 【综合拓展类作业】 课堂练习 解:设BC＝x米． 在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°， ∴AB＝≈＝＝x. 在Rt△EBD中， ∵i＝DB∶EB＝1∶1， ∴DB＝EB， ∴CD＋BC＝AE＋AB， 即2＋x＝4＋x，解得x＝12， 即BC＝12米． 答：水坝原来的高度BC约为12米． 课堂总结 解直角三角形应用题的一般步骤: 1.弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. 2.将实际间题化归为直角三角形中的边角关系问题.当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. 3.寻找直角三角形，并解这个三角形. 板书设计 坡角、坡度： 方向角： 4.4解直角三角形的应用（2） 习题讲解书写部分 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1.如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5 m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处的点D离地面的高度DE＝0.6 m，又量得竿底与坝脚的距离AB＝3 m，则石坝的坡度为(　　) A. B．3 C. D．4 B 2.如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/时的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正东方向时，行驶的时间为________小时．(结果保留根号) 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 (99) 3.如图，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向上，继续向东航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P的正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为__________海里．(结果保留根号) 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 (44) 【综合拓展类作业】 作业布置 如图，这是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°.为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝∶3.若新坡角下需留3米宽的人行道，则距离原坡角(点A处)10米的建筑物是否需要拆除？说明理由．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【综合拓展类作业】 作业布置 解：需要拆除．理由如下： ∵CB⊥DB，∠CAB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝10米． 在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为i＝∶3， ∴tan∠CDB＝＝， ∴BD＝10米， ∴AD＝BD－AB＝10－10≈7.32(米)． ∵3＋7.32＝10.32(米)＞10米， ∴距离原坡角(点A处)10米的建筑物需要拆除． $$