5.5 一元一次方程的应用 学案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用学习目标 学习目标： 1.学生能够理解等长等积变形问题中的数量关系，并能准确设出未知数； 2.掌握运用一元一次方程解决等长等积变形问题的方法，提高解题能力； 3.通过解决实际问题，培养学生的数学思维和应用意识。 核心素养目标： 1. 空间想象能力：通过对图形的变形想象，培养学生构建几何模型的能力。 2. 分析归纳能力：引导学生从具体问题中总结规律，提炼方程。 3. 实际应用能力：让学生将所学应用于解决生活中的等长等积变形实际场景。 学习重点：找准等量关系，设未知数列方程求解。 学习难点：理解变形中的不变量，灵活构建方程模型。 预习自测 一、知识链接 1.此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是________的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。 2.“等积变形”是形状改变而________不变为前提。 3.“等长变形”是形状改变而________不变为前提。 4.在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是________，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 5.长方形面积公式S=________。 6.圆的面积公式S=________。 7.长方形的周长公式C=________。 二、自学自测 1.把一个棱长为 12 厘米的正方体铁块锻造成一根长9厘米、宽8厘米的长方体铁块，这根长方体铁块的高是多少厘米? 2.把一个长8厘米、宽4厘米、高2厘米的长方体橡皮泥，捏成一个棱长为 4厘米的正方体，长方体和正方体哪个体积大? 课堂探究 一、创设情境、导入新课 把一杯水倒入另一只杯中。请指出倒水过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变。 二、合作交流、新知探究 探究一：引入概念 如图，现有空的长方体容器 A和水深24厘米的长方体容器B(单位:厘米) (1)如果将容器B中的水全部倒入容器 A，容器 A 中的水深会是多少厘米? (2)如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米? 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 探究二：例题讲解 教材第147页 ▶例3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米？ ▶例4 如图用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？ 课堂练习 【例1】一个长方形的周长是40cm,若将长减少8cm,宽增加2cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 【例2】《水结成冰,体积会增加10%,现有一块冰,体积是5500立方分米,融化成水后体积减少了_______立方分米。 【例3】有一个不完整的圆往形玻璃密封容器(如图(1)),测得其底面半径为,高为h,其内装蓝色液体若干，按图(2)方式放置时,测得液面高度为h:按图(3)方式放置时,测得液面高度为h,则该圆柱形玻璃密封容器的容积(圆柱体体积=底面积x高)是( ) A.h B.h C.h D.ah 【例4】用一根长10米的铁丝围成一个长方形，使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？ 【选做】5.如图(1)是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图,把甲、乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中,高度与水面齐平。如图(2),先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm,露出水面部分高度为5cm,保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变,再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm,发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中,则乙玻璃棒露出水面部分的高度为_______cm。 【选做】6.根据以下素材,探索完成任务。 课堂总结 知识点 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 作业布置 必做题： 1.把一根长100cm的木棍锯成两段,若使其中一段的长比另一段长的2倍少5cm,则锯出的木棍的长不可能为( ) A.70cm B.65cm C.35cm D.35cm或65cm 2.用一根10cm长的铁丝围成一个三角形,然后把它改围成一个正方形,下列说法正确的是( ) A.围成的图形的周长不变 B.围成的图形的面积不变 C.围成的图形的周长变长 D.围成的图形的面积与周长都不变 3.要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？ 4.有一段钢材可作一个底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件。如果把它改制成高是12厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米? 选做题： 5.如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇。 (1)求长方形的长; (2)求小王、小李两人的速度。 6.一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。 (1)制作一个这样的玻璃缸至少需要多少平方分米的玻璃? (2)这个玻璃鱼缸内装了多少升水?(图1) (3)如果将这个玻璃鱼缸竖起来放(图2)，那么鱼缸内水深多少分米? 【拓展题】一个密封的长方体容器，里面长8分米，宽2分米，高4分米，已装了一部分水，水深2.5分米。 (1)水与容器的接触面积是多少平方分米? (2)如果以这个长方体的右侧面为底面把长方体竖起来放在桌子上，这时水深是多少分米？ 参考答案 【预习自测】 1.【解析】12×12×12÷(9×8) =144×12:72 =1728÷72 = 24(厘米) 答:这根长方体铁块的高是24厘米。 2.【解析】8×4×2 = 32×2 = 64(立方厘米) 4×4×4 =16×4 = 64(立方厘米) 答:长方体的体积和正方体的体积一样大。 【作业布置】 必做 1.A【解析】设一段长为xcm，另一段(2x-5)cm， 则:x+(2x-5)=100cm, 解得:x=35cm， 所以2x-5=65(cm) 所以锯出的木棍的长不可能为70cm，故选A。 2.A【解析】用一根10cm长的铁丝围的一个三角形的周长与改围成一个正形的周长都是10cm,即围成的图形的长不变;围成的一个三角形的面积与围的一个正方形的面积不相等。故选A. 3. 4.【解析】解:零件的底面积是x平方厘米， 8÷2=4(厘米) 依题意得:3×π××9=x×12 解得:x=36π 答:零件的底面积是36π平方厘米。 选做 5.【解析】(1)设长方形的长为x米。 依题意得:(30+60)×30÷2=30×x 解得:x=45 答:长方形的长为45米。 (2)设小李的速度是ym/s，则小王的速度是(y+2)m/s， 由题意得:10(y+y+2)=(45+30)×2 解得:y=6.5， 则y+2=8.5. 答:小李的速度是6.5m/s，则小王的速度是8.5m/s。 6.【解析】(1)根据长方体的表面积公式得: S=(12×3+12×6+3×6)×2=(36+72+18)×2=126×2=252(平方分米) 答:制作一个这样的玻璃缸至少需要252平方分米的玻璃。 (2)根据长方体的体积公式:V=abh,得12×3×5=180(立方分米) 180立方分米=180升 答:这个玻璃鱼缸内装了180升水。 (3)根据(2)可知这个鱼缸里水的体积,竖起来放,体积不变,根据长方体的体积式:V=Sh,得180÷(3×6)=180-18=10(分米) 答:鱼缸内水深10分米。 拓展 【解析】(1)水的形状是长方体，前、后、左、右、下面，5个面与容器接触，根据长×宽+长×高×2+宽×高×2，30厘米=3分米，得8×2+8×2.5×2+2×2.5×2=66(平方分米) 答:水与容器的接触面积是66平方分米。 (2)根据长方体体积=长×宽×高，求出水的体积，用水的体积÷左侧面，得8×2×2.5÷(2×4)=5(分米) 答:水深6分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$