5.5 一元一次方程的应用 教案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

5.5 一元一次方程的应用教学设计 课题 5.5 一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级（上） 教材分析 在一元一次方程的应用中，等长等积变形问题是重要的教学内容。教材通过实际情境引入这类问题，激发学生的学习兴趣。从知识层面看，它要求学生理解方程与实际物体形状、体积变化之间的关系，熟练运用一元一次方程来解决。重点在于让学生找出等量关系，设未知数并列出方程。难点在于部分学生难以将抽象的数学关系与具体的变形问题相联系，需要教师通过多种实例和图形辅助进行讲解，帮助学生建立数学模型，提高解决实际问题的能力。 核心素养 能力培养 1. 空间想象能力：通过对图形的变形想象，培养学生构建几何模型的能力。 2. 分析归纳能力：引导学生从具体问题中总结规律，提炼方程。 3. 实际应用能力：让学生将所学应用于解决生活中的等长等积变形实际场景。 教学目标 1.学生能够理解等长等积变形问题中的数量关系，并能准确设出未知数。 2.掌握运用一元一次方程解决等长等积变形问题的方法，提高解题能力。 3.通过解决实际问题，培养学生的数学思维和应用意识。 教学重点 找准等量关系，设未知数列方程求解。 教学难点 理解变形中的不变量，灵活构建方程模型。 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 教师出示问题： 复习回顾： 三个连续奇数的和为57，求这三个数. 【解析】 设第一个奇数为x，可得x+x+2+x+4=57， 解得x=17，所以这三个数为17，19，21. 创设情境、导入新课 把一杯水倒入另一只杯中。请指出倒水过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变。 复习回顾之前学习第五节第一课时的一元一次方程应用和差倍分与工程问题内容。 先自主探究，再小组合作，分析。 巩固学习和差倍分与工程问题的相关知识。 从水的体积变化，引出等积（长）变形问题。 新知探究 探究一：引入概念 如图，现有空的长方体容器 A和水深24厘米的长方体容器B(单位:厘米) (1)如果将容器B中的水全部倒入容器 A，容器 A 中的水深会是多少厘米? (2)如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米? 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 探究二：例题讲解 教材第147页 ▶例3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）。已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗岩（接缝忽略不计），问：该雕像的底面边长是多少米？ 分析：如图用x表示中间空白正方形的边长，本题的数量关系是： 解：设雕像底面的边长为x米，根据题意，得 4×3.2(x＋3.2)＝0.8×0.8×144。 解这个方程，得x＝4。 答：雕像的底面边长为4米。 ▶例4 如图用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？ 分析：钢柱在锻造过程中体积不变，即 解：设截取圆柱的高为x（mm），根据题意，得 π××x＝300×300×80。 解这个方程，得x＝≈229。 答：应截取钢柱的长约为229mm。 学生自学、互动。在具体学习时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想，发现结论。 阅读教材实际例题，理解实际问题的解决 勾起学生的探究欲望，激发学生对学习本节课的浓厚兴趣。通过例题的解决发现规律，提高学生归纳能力.激发学生兴趣，引入新课主题， 通过对问题的讨论，学生将学习一元一次方程实际应用等长等积变形问题中的数量关系。 课堂练习 【例1】一个长方形的周长是40cm,若将长减少8cm,宽增加2cm,长方形就变成了正方形,则正方形的边长为（ ） A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm B【解析】设正方形的边长为xcm,则长方形的长为(x+8)cm,宽为(x-2)cm。由题意得2(x+8+x-2)=40,解得x=7。故选B。 【例2】水结成冰,体积会增加10%,现有一块冰,体积是5500立方分米,融化成水后体积减少了_______立方分米。 500【解析】设这块冰融化成水后体积为x立方分米。依题意得(1+10%)x=5500,解得x=5000。故融化成水后体积减少了5500-5000=500(立方分米)。故答案为500。 【例3】有一个不完整的圆柱形玻璃密封容器(如图(1)),测得其底面半径为,高为h,其内装蓝色液体若干，按图(2)方式放置时,测得液面高度为h:按图(3)方式放置时,测得液面高度为h,则该圆柱形玻璃密封容器的容积(圆柱体体积=底面积x高)是( ) A.h B.h C.h D.ah B【解析】设该圆柱形玻璃密封容器的容积为V,则π××h=V-π××(h-h),解得V=6h,故选B。 【例4】用一根长10米的铁丝围成一个长方形，使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？ 【解析】设长方形的宽为x米， 则长为（x+1.2）米 【选做】5.如图(1)是一个盛有水的圆柱形玻璃容器的轴截面示意图,把甲、乙两根相同的玻璃棒垂直插入水中,高度与水面齐平。如图(2),先将甲玻璃棒竖直向上提起4cm,露出水面部分高度为5cm,保持甲玻璃棒离容器底部4cm不变,再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm,发现乙玻璃棒仍有部分浸入水中,则乙玻璃棒露出水面部分的高度为_______cm。 8.5【解析】设甲、乙两根玻璃棒的底面积为x,容器的底面积为y,玻璃棒的高为hcm,乙玻璃棒露出水面部分的高度为mcm依题意得y(h-1)=yh-2xh+x(h-5)+x(h-1),解得y=6x。再将乙玻璃棒竖直向上提起6cm,则y(6+h-m)=yh-2xh+x(2+h-m)+x(h-m),解得m=8.5,故乙玻璃棒露出水面部分的高度为8.5cm。故答案为8.5。 【选做】6.根据以下素材,探索完成任务。 【解析】任务1:根据题意,可知设计部分的长为(330-2x)cm,宽为(220-2x)cm.任务2:因为设计的部分也是长方形,且长是宽的1.55倍,所以330-2x=1.55(220-2x)解得x=10,所以四周空白部分宽度是10cm。任务3:(1)设每个栏目的水平宽度为ycm,每栏竖向两列中间间隔是acm,则横向中间间隔为2acm.根据正方形边长相等可得=y-,解得y=100,所以每个栏目的水平宽度为100cm. (2)因为==5(cm),所以长方形栏目与栏目之间中缝的间距为5cm。 完成例题和练习.在学生自主、合作、探究后，学生解答，师生归纳出重点要点难点 加深学生对等长等积变形问题中的数量关系的理解。培养学生多角度思考和解决问题的能力. 课堂小结 知识点 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 学生归纳本节所学知识 回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。 作业布置 1.必做题：学案课后练习 习题1-4 2.选做题：学案课后练习 习题5-6 3.拓展题：学案课后练习 拓展题 学生自主完成 巩固训练，提高学生应用数学知识解决问题能力 学科网（北京）股份有限公司 $$