上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

复旦大学附属中学2024学年第一学期 高三年级数学期中考试试卷 2024.11.12 时间: 120分钟 满分: 150分 注：请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效. 一、填空题(本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数 的定义域为 . 的展开式中常数项的值为 . 3. 已知i为虚数单位, 复数满足(1-3i)·z=|3+4i|, 则复数的虚部为 . 4. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为 且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为 . 5. 已知样本数据的平均数是2, 方差是1, 则的平均数是 . 6. 设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 7. 若椭圆 的焦距是2，则其离心率为 . 8. 若直线 经过点(1，2)，则直线在轴和轴上的截距之和取最小值时， 9. 在平面四边形ABCD中, E、 F分别是AD、 BC的中点.若AB=2,CD=3, 且 则 . 10. 函数是定义在(-4,4)上的偶函数, 其图像如左下图所示, 满足设. 是的导函数, 则关于的不等式≥0的解集是 . 11. 如右上图，B地在A地的正东方向，相距4km； C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到 B的距离远 2km，现要在曲线 PQ上选一处 M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为 50 万元/ km. 选择合适的点 M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 12. 一个项数为6的正整数数列满足( 且 若为不大于 10的偶数，则符合条件的数列共有 个. 二、选择题(本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑. 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 ( ) A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 14. 如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是 ( ) A. AC⊥BD B. AB与平面BCD所成角为60° C. △ADC为等边三角形 D. 二面角A-BC--D的平面角的正切值是 15. 设集合P={-1,1}, Q={}, 函数，下列四个命题： ① 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是增函数; ② 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是减函数; ⑧ 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是奇函数; ④ 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是偶函数. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知 }是平面直角坐标系中的点集. 设是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则 ( ) A. d=3, S<1 B. d=3, S>1 三、解答题(本大题共5题，满分78分) 解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在等差数列中，已知 (1) 求数列的通项公式; (2) 若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 18. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，在三棱锥 中， (1) 求 并说明异面直线AC与BD所成的角θ的大小在棱BD长度增大时是怎样变化的； (2) 判断点D在平面ABC上的射影是否可能在直线BC上，给出你的结论并加以证明. 19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1) 若大卡车在转弯的某一刻，恰好 且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2) 为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在平面直角坐标系中，已知抛物线C: 的焦点为F，点 是抛物线C上的一点. (1) 若 求点A的坐标； (2) 已知T(t，0)是x轴上的点，若线段AT的最小值为4，求实数t的值； (3) 如图, 已知 点M、N在抛物线C上，满足. 作 ，D为垂足. 问：是否存在定点Q，使得|DQ|为定值? 若存在，求出点Q坐标以及|DQ|的值； 若不存在，说明理由. 21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知定义域均为D的函数 S是R的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”. (1) 求 的所有{1}关联函数； (2) 若 是其自身的一个(0，+∞)关联函数，求实数m的取值范围； (3) 对定义在R上的函数y=g(x), 证明: 对一切x∈R恒成立”是“存在函数. 使得对任意正整数n, y=f(x)是y=g(x)的一个 关联函数”的充要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复旦大学附属中学2024学年第一学期 高三年级数学期中考试试卷 2024.11.12 时间: 120分钟 满分: 150分 注：请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效. 一、填空题(本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分) 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 函数 的定义域为 . 【答案】 2. 的展开式中常数项的值为 . 【答案】20 3. 已知i为虚数单位, 复数满足(1-3i)·z=|3+4i|, 则复数的虚部为 . 【答案】 4. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为 且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积为 . 【答案】 5. 已知样本数据的平均数是2, 方差是1, 则的平均数是 . 【答案】5 6. 设斜率为3的直线是曲线的切线，则直线的方程为 . 【答案】 7. 若椭圆 的焦距是2，则其离心率为 . 【答案】 8. 若直线 经过点(1，2)，则直线在轴和轴上的截距之和取最小值时， 【答案】 9. 在平面四边形ABCD中, E、 F分别是AD、 BC的中点.若AB=2,CD=3, 且 则 . 【答案】 10. 函数是定义在(-4,4)上的偶函数, 其图像如左下图所示, 满足设. 是的导函数, 则关于的不等式≥0的解集是 . 【答案】 10. 如右上图，B地在A地的正东方向，相距4km； C地在B地的北偏东30°方向，相距2km，河流沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比它到 B的距离远 2km，现要在曲线 PQ上选一处 M建一座码头，向B、C两地转运货物. 经测算，从M到B地修建公路费用是25万元/ km，从M到C地修建公路的费用为 50 万元/ km. 选择合适的点 M，可使修建的两条公路总费用最低，则总费用最低是 万元. 【答案】125（可用双曲线第二定义来解释或者几何方法均可以） 12. 一个项数为6的正整数数列满足 且 若为不大于 10的偶数，则符合条件的数列共有 个. 【答案】5 二、选择题(本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分)每题有且只有一个正确选项. 考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑. 13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 ( ) A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】 14. 如图，将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则对于翻折后的几何图形，下列结论不正确的是 ( ) A. AC⊥BD B. AB与平面BCD所成角为60° C. △ADC为等边三角形 D. 二面角A-BC--D的平面角的正切值是 【答案】 15. 设集合P={-1,1}, Q={}, 函数，下列四个命题： ① 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是增函数; ② 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是减函数; ⑧ 对任意λ∈P, 存在a∈Q, 使得y=f(x)是奇函数; ④ 存在λ∈P, 对任意a∈Q, y=f(x)是偶函数. 其中真命题的个数是 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】 16. 已知 }是平面直角坐标系中的点集. 设是M中两点间距离的最大值，S是M中所有点构成的图形的面积，则 ( ) A. d=3, S<1 B. d=3, S>1 【答案】 三、解答题(本大题共5题，满分78分) 解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 在等差数列中，已知 (1) 求数列的通项公式; (2) 若数列 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和. 【解析】 (1) 设等差数列 的公差为 , 由 , 得 , 解得 所以 ; (2) 由 (1) 可知 , 则 所以 18. (本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分) 如图，在三棱锥 中， (1) 求 并说明异面直线AC与BD所成的角θ的大小在棱BD长度增大时是怎样变化的； (2) 判断点D在平面ABC上的射影是否可能在直线BC上，给出你的结论并加以证明. 【解析】(1) 异面直线 与 所成角为 , , , 因为 在 上单调递减, 所以随 长度增大, 减少, 故 增大; (2)不可能. 证明：假设点 在平面 上的射影在 上,则平面 平面 , 平面 平面 平面 平面 , 则有 , 从而有 , 这与 矛盾,所以点 在平面 上的射影不可能在 上. 19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记 (1) 若大卡车在转弯的某一刻，恰好 且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB； (2) 为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值. 【解析】 (1) 如图 所示, 作 , 垂足为 , 作 , 垂足为 , 因为 , 所以 , 在= 在 Rt 中, 在 Rt 中, , 在 Rt 中, 所以 米. (2) 因为 , 所以 2. , 所以 . , 令 , 则 , 因为 , 所以 , 所以 , 所以 , 设 , 则 , 所以 , 易知 在 上单调递增, 且 , 所以 在 上单调递减, 所以当 , 即 时, 取得最小值 。所以最终符合条件的大卡车车长最大值为（）米 20. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 在平面直角坐标系中，已知抛物线C: 的焦点为F，点 是抛物线C上的一点. (1) 若 求点A的坐标； (2) 已知T(t，0)是x轴上的点，若线段AT的最小值为4，求实数t的值； (3) 如图, 已知 点M、N在抛物线C上，满足 作 ，D为垂足. 问：是否存在定点Q，使得|DQ|为定值? 若存在，求出点Q坐标以及|DQ|的值； 若不存在，说明理由. 【解析】 （1） 由抛物线的性质可知，。A到焦点F的距离等于到准线的距离 所以，带入抛物线， （2） (3)设 , 又 , 令直线 , 联立 ,整理得 ，且 则 代入(1)式得: 当 时, 过定点 与A重合,不符; 当 时， 过定点 直线 过定点 , 又 , 故 在以 为直径的圆上, 而 中点为 , 即 为定值. 21. (本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知定义域均为D的函数 S是R的非空子集. 若对任意 当 时，总有 则称 是 的一个“S关联函数”. (1) 求 的所有{1}关联函数； (2) 若 是其自身的一个(0，+∞)关联函数，求实数m的取值范围； (3) 对定义在R上的函数y=g(x), 证明: 对一切x∈R恒成立”是“存在函数. 使得对任意正整数n, y=f(x)是y=g(x)的一个 关联函数”的充要条件. 【解析】 （1） 由题意可知， （2） （3） 略略略 1 学科网（北京）股份有限公司 $$