4.4解直角三角形的应用 课件 2024—2025学年湘教版九年级数学上册

（湘教版）九年级 上 4.4解直角三角形的应用 教学目标 1.学生能够理解仰角和俯角的概念，并会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。 3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。 4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。 新知导入 回顾 已知两直角边(如a,b)： 由tanA=,求∠A,∠B=90°-∠A,c=; 斜边，一直角边(如c,a): 由sinA=,求∠A,∠B=90°-∠A,b=; 解直角三角形的常见类型 新知导入 已知锐角，邻边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=btanA,c=; 已知锐角，对边(如∠A,a): ∠B=90°-∠A,a=,c=; 已知锐角，斜边(如∠A,b)： ∠B=90°-∠A,a=ctanA,b=ccosA. 新知讲解 预备知识 仰角和俯角都是视线与水平线所形成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 新知讲解 动脑筋 某探险者某天到达如图所示的点 A 处时， 他准备估算出离他的目地——海拔为 3500 m 的山峰顶点B 处的水平距离. 你能帮他想出一个可行的办法吗？ A B C 已知BD=3500m， 求AC 新知讲解 如图， BD 表示点 B 的海拔， AE 表示点 A 的海拔， AC⊥BD， 垂足为点 C. 先测量出海拔AE， 再测出仰角∠BAC， 然后用锐角三角函数的知识就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC． 新知讲解 如图，如果测得点 A 的海拔AE为1600 m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. 做一做 解: ∵ BD=3500m,AE=1600m,AC⊥BD,∠BAC=40°, ∴ 在Rt△ABC中,tan∠BAC===tan 40°． ∴≈0.839 1， 即 AC ≈2 264（m）. 因此,A,B两点之间的水平距离 AC 约为2264m. 典例精析 例1 如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处,用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为 25°,仪器距地面高AE为1.7m．求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1m). 解:如图,在Rt△ABC中,∠BAC=25°,AC=1000m， 因此tan25°==． 从而BC=1000×tan25° ≈ 466.3(m)． 因此,上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD为468m. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 1.如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（　　） A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC D 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（　　） A．40m B．80m C．120m D．160m D 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 3.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　 　米．（用含 α 的三角函数表示） （1.5+15tanα） 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 4. 如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为(　　) A．6sin75°米 B.米 C. 米 D．6tan75°米 D 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 5.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米． 100 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 6.某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°，再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，求得浦宁之珠的高度CD约为________m．(参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果保留整数) 189 【综合拓展类作业】 课堂练习 如图，某客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A处测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方．(结果精确到0.1秒，≈1.73) 【综合拓展类作业】 课堂练习 解:过点B作BD⊥AD于点D，则BD＝100米， 在Rt△ABD中，tan∠BAD＝， ∴AD＝＝100米． ∵直升机的飞行速度为10米/秒， ∴飞行时间为100÷10＝10≈17.3(秒)， ∴该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行约17.3秒可到达漂浮物的正上方． 课堂总结 1.实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2.利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法 板书设计 仰角、俯角： 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法： 4.4解直角三角形的应用（1） 习题讲解书写部分 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m， ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 ，则电线杆AB的高度为（　　） A． B． C． D． B 2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为( )  A．100 m B．50 m C．50 m D. m 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 A 3.如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是( ) A．160米 B．80米 C．100米 D．80(1＋)米 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 D 【综合拓展类作业】 作业布置 如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(结果保留根号) 【综合拓展类作业】 作业布置 解：过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如图所示， 由已知可得，AB＝8米，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°， ∴AD＝，BD＝， ∴AB＝AD－BD＝－， 即8＝－， 解得CD＝(4＋4)米， 即生命所在点C的深度是(4＋4)米． $$