4.4解直角三角形的应用 教学设计 2024—2025学年浙教版九年级数学上册

《4.4解直角三角形的应用》教学设计 教学内容分析 本节课主要介绍了如何利用直角三角形的性质解决实际问题，特别是涉及到仰角和俯角的情况。教材通过一系列实际案例，如测量建筑物高度、计算两点间距离等，引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。同时，教材也强调了数形结合、方程思想等数学思想的渗透，旨在培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。 学习者分析 学生在进入本章学习前，已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念及特殊角的三角函数值等基础知识。然而，将这些知识应用于实际问题中，特别是涉及到仰角和俯角的情况时，学生可能会感到困难。因此，在教学过程中，需要注重培养学生的数学建模能力和问题解决能力，通过实际案例引导学生理解和掌握解直角三角形的方法。 教学目标 1.学生能够理解仰角和俯角的概念，并会根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。 2.学生能够掌握解直角三角形的基本方法，包括利用三角函数求解边长和角度等。 3.学生能够经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。 4.学生能够通过观察、思考、讨论等方式，逐步掌握解直角三角形的方法和技巧。 教学重点 1.仰角和俯角的概念及其在实际问题中的应用。 2.解直角三角形的基本方法和技巧。 教学难点 1.如何将实际问题转化为解直角三角形的问题。 2.灵活运用三角函数求解边长和角度等。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 回顾 解直角三角形的常见类型 已知两直角边(如a，b)： 由tanA=，求∠A，∠B=90°-∠A，c=; 斜边，一直角边(如c，a): 由sinA=，求∠A，∠B=90°-∠A，b=; 已知锐角，邻边(如∠A，b)： ∠B=90°-∠A，a=btanA，c=; 已知锐角，对边(如∠A，a): ∠B=90°-∠A，a=，c=; 已知锐角，斜边(如∠A，b)： ∠B=90°-∠A，a=ctanA，b=ccosA. 学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。 环节二：讲授新知 教师活动2： 预备知识 教师讲授：仰角和俯角都是视线与水平线所形成的角，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 动脑筋 某探险者某天到达如图所示的点A处时，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m的山峰顶点B处的水平距离. 你能帮他想出一个可行的办法吗？ 教师讲授： 如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可求出A，B两点之间的水平距离AC． 做一做 如图，如果测得点A的海拔AE为1600 m，仰角∠BAC=40°，求A，B两点之间的水平距离AC（结果保留整数）. 教师讲授： 解: ∵ BD=3500m，AE=1600m，AC⊥BD，∠BAC=40°， ∴ 在Rt△ABC中，tan∠BAC===tan 40°． ∴≈0.839 1， 即 AC ≈2 264（m）. 因此，A，B两点之间的水平距离 AC 约为2264m. 学生活动2： 认真听讲，理解仰角和俯角的概念 认真思考，合作交流 从实际问题中抽象出几何图形 应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题 活动意图说明：使学生经历从实际问题抽象出数学模型的过程，学会将实际问题转化为解直角三角形的问题。让学生根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。 环节三：例题精析 教师活动3： 例1如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC 为 25°，仪器距地面高AE为1.7m．求上海东方明珠塔的高度BD(结果精确到1m). 解:如图，在Rt△ABC中，∠BAC=25°，AC=1000m， 因此tan25°==． 从而BC=1000×tan25° ≈ 466.3(m)． 因此，上海东方明珠塔的高度BD=466.3+1.7=468 (m) ． 答：上海东方明珠塔的高度 BD为468m. 学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。 环节四：课堂总结 教师活动4： 运用解直角三角形的知识解决视角相关问题的方法： 1.实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长. 2.利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数. 学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。 板书设计 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（　　） A． B． C． D． 2.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为（　　） A．40m B．80m C．120m D．160m 3.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　 　米．（用含 的三角函数表示） 选做题： 4.如图所示，在地面上的点A处测得树顶B的仰角α＝75°，若AC＝6米，则树高BC为(　　) A．6sin75°米 B.米 C.米 D．6tan75°米 5.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝________米． 6.某校数学兴趣小组要测量西山植物园浦宁之珠的高度．如图，他们在点A处测得浦宁之珠最高点C的仰角为45°，再往浦宁之珠方向前进至点B处测得最高点C的仰角为56°，AB＝62 m，根据这个兴趣小组测得的数据，求得浦宁之珠的高度CD约为________m．(参考数据：sin56°≈0.83，tan56°≈1.49，结果精确到0.1 m) 【综合拓展类作业】 如图，某客船失事之后，本着“关爱生命，救人第一”的宗旨，搜救部门紧急派遣直升机到失事地点进行搜救，搜救过程中，假设直升机飞到A处时，发现前方江面上B处有一漂浮物，从A处测得B处的俯角为30°，已知该直升机一直保持在距江面100米高度飞行搜索，飞行速度为10米/秒，求该直升机沿直线方向朝漂浮物飞行多少秒可到达漂浮物的正上方．(结果精确到0.1秒，≈1.73) 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m， ，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 ，则电线杆AB的高度为（　　） A． B． C． D． 2.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B、C在同一水平面上)．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为( ) A．100 m B．50 m C．50 m D. m 3.如图，从热气球C处测得地面两点A、B的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为80米，点A、D、B在同一直线上，那么A、B两点的距离是( ) A．160米 B．80米 C．100米 D．80(1＋)米 【综合拓展类作业】 如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．(结果保留根号) 教学反思 1.针对学生的困难点，设计更多的实际问题和案例，帮助学生理解和掌握仰角和俯角的概念及其在实际问题中的应用。 2.在教学过程中，注重培养学生的思维能力和创新能力，鼓励学生独立思考和提出新的问题。同时，加强与学生的互动和交流，及时了解学生的学习情况和困难，以便更好地调整教学策略和方法。 3.可以通过引入更多的辅助教学工具，如多媒体课件、动画演示等，帮助学生更直观地理解问题和解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$